Calcule as seguintes integrais
\int \frac{x^{3}}{x^{2}+x-6} d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral
\int \frac{x^{3}}{x^{2}+x-6}\,dx.
Aqui o conteúdo é integração de funções racionais. Sempre que o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, a gente primeiro faz divisão polinomial para escrever a função como polinômio mais uma fração própria, e só então aplica decomposição em frações parciais.

Passo 2

Fazemos a divisão de x^{3} por x^{2}+x-6. Em formato de resto:
x^{3} = (x^{2}+x-6)\,(x-1) + (7x-6).
Isso implica
\frac{x^{3}}{x^{2}+x-6} = x - 1 + \frac{7x-6}{x^{2}+x-6}.

Passo 3

O denominador da parte própria fatora-se como
x^{2}+x-6 = (x+3)(x-2).
Logo
\frac{7x-6}{x^{2}+x-6} = \frac{7x-6}{(x+3)(x-2)}.

Passo 4

Decompondo em frações parciais, escrevemos
\frac{7x-6}{(x+3)(x-2)} = \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x-2}.
Multiplicando por (x+3)(x-2) obtém-se
7x - 6 = A(x-2) + B(x+3) = (A+B)\,x + (-2A+3B).
Comparando coeficientes temos o sistema
\begin{cases} A + B = 7,\\\\ -2A + 3B = -6, \end{cases}
cuja solução é
B = \frac{8}{5}, \quad A = \frac{27}{5}.

Passo 5

Reescrevendo a integral, fica
\int \frac{x^{3}}{x^{2}+x-6}\,dx = \int\Bigl(x - 1 + \frac{27/5}{x+3} + \frac{8/5}{x-2}\Bigr)\,dx.
Agora integramos termo a termo:
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}, \quad \int (-1)\,dx = -x, \quad \int \frac{dx}{x+3} = \ln\lvert x+3\rvert, \quad \int \frac{dx}{x-2} = \ln\lvert x-2\rvert.
Portanto
\int \frac{x^{3}}{x^{2}+x-6}\,dx = \frac{x^{2}}{2} - x + \frac{27}{5}\ln\lvert x+3\rvert + \frac{8}{5}\ln\lvert x-2\rvert + C.

Resposta

\frac{x^{2}}{2} - x + \frac{27}{5}\ln\lvert x+3\rvert + \frac{8}{5}\ln\lvert x-2\rvert + C.

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