Calcule as seguintes integrais
\int x^{2025} \ln x d x

Passo 1

O enunciado pede a integral
\int x^{2025}\ln x\,dx
O conteúdo principal aqui é integração por partes, pois temos um produto de x^{2025} e \ln x.

Passo 2

Escolhemos as partes de modo a simplificar a integral remanescente:
u = \ln x e dv = x^{2025}\,dx.
Então
du = \frac{1}{x}\,dx, \qquad v = \int x^{2025}\,dx = \frac{x^{2026}}{2026}.

Passo 3

Pela fórmula de integração por partes,
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du,
temos
\int x^{2025}\ln x\,dx = \ln x\cdot\frac{x^{2026}}{2026} - \int \frac{x^{2026}}{2026}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^{2026}}{2026}\ln x - \frac{1}{2026}\int x^{2025}\,dx.

Passo 4

Agora basta integrar o termo que ficou:
\int x^{2025}\,dx = \frac{x^{2026}}{2026}.
Substituindo de volta,
\int x^{2025}\ln x\,dx = \frac{x^{2026}}{2026}\ln x - \frac{1}{2026}\cdot\frac{x^{2026}}{2026} + C = \frac{x^{2026}}{2026}\ln x - \frac{x^{2026}}{2026^2} + C.

Resposta

\int x^{2025}\ln x\,dx = \frac{x^{2026}}{2026}\ln x - \frac{x^{2026}}{2026^2} + C.

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