Calcule as seguintes integrais
\int_{0}^{1} \ln \left(x^{2}+1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I = \int_{0}^{1} \ln\bigl(x^{2}+1\bigr)\,dx.
O conteúdo principal aqui é usar integração por partes, que se baseia na fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos em \int \ln(1+x^{2})\,dx:
u = \ln(1+x^{2}) e dv = dx.
Então
du = \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx, \quad v = x.
Aplicando integração por partes,
\int \ln(1+x^{2})\,dx = x\,\ln(1+x^{2}) - \int x\cdot\frac{2x}{1+x^{2}}\,dx.
Note que
\frac{x^{2}}{1+x^{2}} = 1 - \frac{1}{1+x^{2}},
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\int x\cdot\frac{2x}{1+x^{2}}\,dx = 2\int\Bigl(1 - \frac{1}{1+x^{2}}\Bigr)\,dx = 2\bigl(x - \arctan x\bigr).
Portanto, uma antiderivada é
\int \ln(1+x^{2})\,dx = x\,\ln(1+x^{2}) \;-\; 2x \;+\; 2\,\arctan x \;+\; C.

Passo 3

Agora avaliamos de 0 a 1:
I = \bigl[x\ln(1+x^{2}) - 2x + 2\arctan x\bigr]_{0}^{1} = \bigl(\ln 2 - 2 + 2\cdot\tfrac{\pi}{4}\bigr) - 0 = \ln 2 - 2 + \frac{\pi}{2}.

Resposta

\int_{0}^{1} \ln\bigl(x^{2}+1\bigr)\,dx = \frac{\pi}{2} \;-\; 2 \;+\; \ln 2.

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