Calcule as seguintes integrais
\int \frac{x^{2}}{\left(4-x^{2}\right)^{3 / 2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva da função
\frac{x^{2}}{(4 - x^{2})^{3/2}}
ou seja,
\int \frac{x^{2}}{\bigl(4 - x^{2}\bigr)^{3/2}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é usar substituição trigonométrica para tratar o fator (4 - x^{2})^{3/2}.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 2\sin\theta,
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dx = 2\cos\theta\,d\theta \quad\text{e}\quad \sqrt{4 - x^{2}} = 2\cos\theta.
Substituindo na integral:
\int \frac{x^{2}}{(4 - x^{2})^{3/2}}\,dx = \int \frac{(2\sin\theta)^{2}\,\bigl(2\cos\theta\,d\theta\bigr)}{\bigl(2\cos\theta\bigr)^{3}}.

Passo 3

Simplificando o integrando:
\frac{(2\sin\theta)^{2}\,(2\cos\theta)}{(2\cos\theta)^{3}} = \frac{4\sin^{2}\theta\;2\cos\theta}{8\cos^{3}\theta} = \frac{8\sin^{2}\theta\cos\theta}{8\cos^{3}\theta} = \frac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta} = \tan^{2}\theta.
Portanto a integral vira
\int \tan^{2}\theta\,d\theta.

Passo 4

Usamos a identidade \tan^{2}\theta = \operatorname{sec}^{2}\theta - 1:
\int \tan^{2}\theta\,d\theta = \int (\operatorname{sec}^{2}\theta - 1)\,d\theta = \int \operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta \;-\; \int 1\,d\theta = \tan\theta \;-\; \theta + C.

Passo 5

Retornando a x:
\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{x/2}{\sqrt{4 - x^{2}}/2} = \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}},
e
\theta = \arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).
Logo a primitiva é
\frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}} \;-\; \arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + C.

Resposta

\int \frac{x^{2}}{(4 - x^{2})^{3/2}}\,dx = \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}} - \arcsin\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr) + C.

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