Queståo 6 - Equilibrio térmico cm um reator:

A variaçảo de temperatura de um reator é modelada por:
T(t)=60 \cdot \operatorname{tanh} 0,3 t
a) Determine a taxa de variação da temperatura T^{\prime}(t).
b) Qual é o valor de T^{\prime}(0) ? Interprete.
c) Há algum ponto critico? Se sim, classifique.

Passo 1

O enunciado dá a variação de temperatura de um reator como
T(t)=60\cdot\operatorname{tanh}(0,3t)
e pede:
a) a taxa de variação T'(t);
b) o valor de T'(0) e sua interpretação;
c) existência e classificação de pontos críticos.

Passo 2

Para achar T'(t) usamos a regra da cadeia e a derivada
\bigl(\operatorname{tanh} u\bigr)' = \sech^2(u)\,u'.
Como aqui u=0,3t e u'=0,3, temos
T'(t)=60\cdot\sech^2(0,3t)\cdot0,3=18\,\sech^2(0,3t).

Passo 3

Para T'(0) basta usar \sech(0)=1, logo
T'(0)=18\cdot1^2=18.
Isto significa que, no instante inicial, a temperatura está aumentando a 18 unidades de temperatura por unidade de tempo.

Passo 4

Pontos críticos são os t em que T'(t)=0 ou T'(t) é indefinida. Como \sech^2(0,3t)>0 para todo t, T'(t) nunca zera nem fica indefinida. Logo, não há pontos críticos.

Resposta

a) \,T'(t)=18\,\sech^2(0,3t).\n
b) \,T'(0)=18, o que indica a taxa inicial de aquecimento.\n
c) Não há pontos críticos.

Exercícios relacionados