Encontre a série que representa
e determine seu raio de convergência:
Passo 1
O enunciado dá \r
e pede a série que representa
e o raio de convergência dessa série. Vamos usar diferenciação termo a termo e depois aplicar o teste da razão para achar o raio.
Passo 2
Diferenciando termo a termo, cada parcela \r
gera \r
Logo,\r
Passo 3
Para simplificar, façamos a troca de índice
. Então
e:\r
\r
Isso dá\r
\r
Isso dá\r
Passo 4
Para achar o raio de convergência, aplique o teste da razão a \r
Considere\r
\r
Para
, essa razão tende a
para todo
.
Resposta
A série derivada é \r
ou, reindexando, \r
e o raio de convergência é
.