Encontre a série que representa f^{\prime}(x) e determine seu raio de convergência:
f(x)=\sum_{n=2}^{\infty}(x-4)^{2 n-3} \cdot(2 n-2)\,!

Passo 1

O enunciado dá \r
f(x)=\sum_{n=2}^{\infty}(x-4)^{2n-3}\,(2n-2)!, \r
e pede a série que representa f'(x) e o raio de convergência dessa série. Vamos usar diferenciação termo a termo e depois aplicar o teste da razão para achar o raio.

Passo 2

Diferenciando termo a termo, cada parcela \r
(x-4)^{2n-3}\,(2n-2)! \r
gera \r
\frac{d}{dx}\bigl[(x-4)^{2n-3}\bigr]\,(2n-2)!=(2n-3)(x-4)^{2n-4}\,(2n-2)!. \r
Logo,\r
f'(x)=\sum_{n=2}^{\infty}(2n-3)(2n-2)!\,(x-4)^{2n-4}.

Passo 3

Para simplificar, façamos a troca de índice m=n-2. Então n=m+2 e:\r
\begin{align*}\r 2n-4 &\(=2\)(m\(+2\))-\(4=2\)m,\\ 2n-3 &\(=2\)m\(+1\),\\ 2n-2 &\(=2\)m\(+2\).\r \end{align*}\r
Isso dá\r
f'(x)=\sum_{m=0}^{\infty}(2m+1)(2m+2)!\,(x-4)^{2m}.

Passo 4

Para achar o raio de convergência, aplique o teste da razão a \r
(2m+1)(2m+2)!\,(x-4)^{2m}. \r
Considere\r
\frac{a_{m+1}}{a_m}\r =\frac{(2(m+1)+1)(2(m+1)+2)!\,\lvert x-4\rvert^{2(m+1)}}\r {(2m+1)(2m+2)!\,\lvert x-4\rvert^{2m}}\r =\frac{(2m+3)(2m+4)(2m+3)\,\lvert x-4\rvert^2}{2m+1}.\r
Para m\to\infty, essa razão tende a +\infty para todo x\neq4.

Resposta

A série derivada é \r
\displaystyle f'(x)=\sum_{n=2}^{\infty}(2n-3)(2n-2)!\,(x-4)^{2n-4}, \r
ou, reindexando, \r
\displaystyle f'(x)=\sum_{m=0}^{\infty}(2m+1)(2m+2)!\,(x-4)^{2m}, \r
e o raio de convergência é R=0.

Exercícios relacionados