Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de cada uma das funções abaixo.
f(x)=x \cdot \ln (x)

Passo 1

O enunciado pede: determinar os intervalos de crescimento (onde a função aumenta) e de decrescimento (onde a função diminui) da função \;f(x)=x\cdot\ln(x)\;.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a função é \;f(x)=x\ln(x)\; e, por definição do logaritmo natural, o domínio é \;(0,\infty).

Passo 2

Estratégia geral (explicada passo a passo, sem pular etapas): para saber onde uma função aumenta ou diminui usamos a derivada. A regra prática é:
\text{se } f'(x)>0 \text{ então } f \text{ é crescente em torno de } x,ãé
\text{se } f'(x)<0 \text{ então } f \text{ é decrescente em torno de } x.ãé
Agora preciso calcular a derivada de \;f(x)=x\ln(x)\;. Vou usar a regra do produto porque \;f\; é produto de duas funções: u(x)=x e v(x)=\ln(x). A regra do produto diz:
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Também uso que a derivada do logaritmo natural é
\frac{d}{dx}\big(\ln(x)\big)=\frac{1}{x}\quad\text{(para } x>0\text{)}.
Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Aplicando a regra do produto em \;f(x)=x\ln(x)\;: aqui u(x)=x então u'(x)=1; e v(x)=\ln(x) então v'(x)=1/x. Portanto
f'(x)=1\cdot\ln(x)+x\cdot\frac{1}{x}=\ln(x)+1.
Essa é a expressão da derivada em todo o domínio (0,\infty).

Passo 4

Agora encontramos os pontos críticos resolvendo f'(x)=0:
\ln(x)+1=0 \quad\Longrightarrow\quad \ln(x)=-1.
Aplicando a função exponencial nos dois lados (função inversa do logaritmo) obtemos
x=e^{-1}=\frac{1}{e}.
Esse é o único ponto crítico no domínio (0,\infty).

Passo 5

Análise do sinal de f'(x)=\ln(x)+1 para determinar monotonicidade:
  • Para comparar \ln(x) com -1 é útil lembrar que \ln(x) é crescente em (0,\infty). Então:
    • Se 0<x<\frac{1}{e} então \ln(x)<\ln\!\big(\tfrac{1}{e}\big)=-1, logo \ln(x)+1<0. Portanto f'(x)<0 quando x\in\big(0,\tfrac{1}{e}\big), ou seja, f é decrescente nesse intervalo.
    • Se x>\frac{1}{e} então \ln(x)>\ln\!\big(\tfrac{1}{e}\big)=-1, logo \ln(x)+1>0. Portanto f'(x)>0 quando x\in\big(\tfrac{1}{e},\infty\big), isto é, f é crescente nesse intervalo.
Como checagem intuitiva rápida: escolha um valor teste à esquerda, por exemplo x=0,1 (note que 0,1<1/e) e \ln(0,1)=-\ln(10) que é menor que -1, confirmando f'<0; escolha x=1 — na verdade 1>1/e — e \ln(1)=0 dando f'(1)=1>0, confirmando f'>0 à direita.

Passo 6

Observação sobre o tipo de ponto crítico: podemos ver se x=\tfrac{1}{e} é mínimo ou máximo calculando a segunda derivada. Derivando f'(x)=\ln(x)+1 temos
f''(x)=\frac{1}{x},
que é positiva para todo x\in(0,\infty). Como f''(x)>0 o gráfico é convexo e o ponto crítico x=\tfrac{1}{e} é um mínimo local (na verdade o mínimo absoluto no domínio, já que é único ponto onde a derivada muda de negativa para positiva).

Resposta

Decrescente em \left(0,\dfrac{1}{e}\right)
Crescente em \left(\dfrac{1}{e},\infty\right)

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