Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de cada uma das funções abaixo.
f(x)=x \cdot \ln (x)
f(x)=x \cdot \ln (x)
Passo 1
O enunciado pede: determinar os intervalos de crescimento (onde a função aumenta) e de decrescimento (onde a função diminui) da função
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a função é e, por definição do logaritmo natural, o domínio é
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a função é
Passo 2
Estratégia geral (explicada passo a passo, sem pular etapas): para saber onde uma função aumenta ou diminui usamos a derivada. A regra prática é:
Agora preciso calcular a derivada de
. Vou usar a regra do produto porque
é produto de duas funções:
e
. A regra do produto diz:
Também uso que a derivada do logaritmo natural é
Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Aplicando a regra do produto em
: aqui
então
; e
então
. Portanto
Essa é a expressão da derivada em todo o domínio
.
Passo 4
Agora encontramos os pontos críticos resolvendo
:
Aplicando a função exponencial nos dois lados (função inversa do logaritmo) obtemos
Esse é o único ponto crítico no domínio
.
Passo 5
Análise do sinal de
para determinar monotonicidade:
- Para comparar
com é útil lembrar que é crescente em . Então: - Se
então , logo . Portanto quando , ou seja, é decrescente nesse intervalo. - Se
então , logo . Portanto quando , isto é, é crescente nesse intervalo.
- Se
Como checagem intuitiva rápida: escolha um valor teste à esquerda, por exemplo
(note que
) e
que é menor que
, confirmando
; escolha
— na verdade
— e
dando
, confirmando
à direita.
Passo 6
Observação sobre o tipo de ponto crítico: podemos ver se
é mínimo ou máximo calculando a segunda derivada. Derivando
temos
que é positiva para todo
. Como
o gráfico é convexo e o ponto crítico
é um mínimo local (na verdade o mínimo absoluto no domínio, já que é único ponto onde a derivada muda de negativa para positiva).
Resposta
Decrescente em
Crescente em
Crescente em