Calcule as seguintes integrais:
\int \frac{x+23}{x^{2}+x-20} d x\

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x+23}{x^{2}+x-20}\,dx.
O conteúdo principal é integração de função racional por decomposição em frações parciais. Para isso, vamos fatorar o denominador e escrever a função como soma de termos simples.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador
x^{2}+x-20 = (x-4)(x+5).
Em seguida, propomos a decomposição
\frac{x+23}{(x-4)(x+5)} = \frac{A}{x-4} + \frac{B}{x+5},
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (x-4)(x+5)\), obtemos \[x+23 = A(x+5) + B(x-4).
Isso implica o sistema
\begin{cases} A + B = 1,\\\\ 5A - 4B = 23. \end{cases}
Resolvendo, temos A=3\] e \(B=-2.

Passo 4

Substituindo na integral,
\int \frac{x+23}{x^{2}+x-20}\,dx = \int \Bigl(\frac{3}{x-4} - \frac{2}{x+5}\Bigr)\,dx = 3\int \frac{dx}{x-4} - 2\int \frac{dx}{x+5}.
Sabendo que \displaystyle\int \frac{dx}{x-a} = \ln\bigl|x-a\bigr| + C, segue
3\ln\bigl|x-4\bigr| -2\ln\bigl|x+5\bigr| + C.

Resposta

3\ln\bigl|x-4\bigr| -2\ln\bigl|x+5\bigr| + C.

Exercícios relacionados