examine cada uma das afirmativas abaixo e determine se é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta (respostas sem justificativa não serão consideradas).
Toda solução não-nula de
tende a zero quando
tende a
.
Toda solução não-nula de
Passo 1
O enunciado nos pede para verificar se toda solução não-nula da equação diferencial linear de segunda ordem
tende a zero quando
. O conteúdo envolvido é a resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes: usaremos o método da equação característica e, depois, analisaremos o comportamento assintótico da solução geral.
Passo 2
Associamos a equação diferencial à equação característica
que identifica os possíveis comportamentos exponenciais das soluções.
Passo 3
Observamos que
logo há raiz dupla
. Para raiz dupla, a forma da solução geral é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 4
Para estudar o limite quando
, note que
e também
Logo cada termo de
tende a zero, mesmo que
ou
sejam diferentes de zero.
Passo 5
Concluímos que toda solução não-nula de
tende a zero quando
tende a
.
Resposta
Verdadeira.