examine cada uma das afirmativas abaixo e determine se é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta (respostas sem justificativa não serão consideradas).
Toda solução não-nula de y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+9 y=0 tende a zero quando t tende a +\infty.

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se toda solução não-nula da equação diferencial linear de segunda ordem
y'' + 6y' + 9y = 0
tende a zero quando t \to +\infty. O conteúdo envolvido é a resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes: usaremos o método da equação característica e, depois, analisaremos o comportamento assintótico da solução geral.

Passo 2

Associamos a equação diferencial à equação característica
r^2 + 6r + 9 = 0
que identifica os possíveis comportamentos exponenciais das soluções.

Passo 3

Observamos que
r^2 + 6r + 9 = (r + 3)^2,
logo há raiz dupla r=-3. Para raiz dupla, a forma da solução geral é
y(t) = \bigl(C_1 + C_2\,t\bigr)e^{-3t},
onde C_1 e C_2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 4

Para estudar o limite quando t\to+\infty, note que e^{-3t}\to0 e também
t\,e^{-3t}\;\to\;0\quad\text{quando }t\to+\infty.
Logo cada termo de y(t) tende a zero, mesmo que C_1 ou C_2 sejam diferentes de zero.

Passo 5

Concluímos que toda solução não-nula de
y'' + 6y' + 9y = 0
tende a zero quando t tende a +\infty.

Resposta

Verdadeira.

Exercícios relacionados