examine cada uma das afirmativas abaixo e determine se é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta (respostas sem justificativa não serão consideradas).
Seja y_{1}(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} uma solução do problema y^{\prime \prime}+e^{x} y^{\prime}+y=0, y(0)=1, y^{\prime}(0)=1.
Então a_{0}=1, a_{1}=1 e a_{2}=-1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os coeficientes a_{0}, a_{1} e a_{2} da solução em série
y_{1}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}
do problema de valor inicial
y'' + e^{x}y' + y = 0,\quad y(0)=1,\\ y'(0)=1.
O conteúdo é solução em série de potências e uso das condições iniciais.

Passo 2

Pela definição da série em x=0 temos
y(0)=a_{0}=1,
logo a_{0}=1. Derivando a série e avaliando em 0,
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_{n}x^{n-1} \quad\Longrightarrow\quad y'(0)=a_{1}=1.
Portanto a_{1}=1.

Passo 3

Para achar a_{2} usamos a equação diferencial em x=0. Como e^{0}=1, obtemos
y''(0)+y'(0)+y(0)=0 \quad\Longrightarrow\quad y''(0)+1+1=0 \quad\Longrightarrow\quad y''(0)=-2.

Passo 4

Na expansão em série temos
y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)\,a_{n+2}\,x^{n},
de onde
y''(0)=2\,a_{2}.
Igualando a -2 resulta
2\,a_{2}=-2 \quad\Longrightarrow\quad a_{2}=-1.

Resposta

A afirmativa é verdadeira: a_{0}=1, a_{1}=1 e a_{2}=-1.

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