Calcule as seguintes integrais:
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t} \delta(t-\beta+2) d t, sendo \beta um escalar constante qualquer.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t}\,\delta\bigl(t - (\beta - 2)\bigr)\,dt
onde \beta é uma constante. O conteúdo principal aqui é a propriedade de amostragem (sifting property) da delta de Dirac, que diz:
\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,\delta(t - a)\,dt = f(a).

Passo 2

Identificamos em nossa integral a função f(t)=e^{-t} e o deslocamento do delta a = \beta - 2. Ou seja, temos \delta\bigl(t - (\beta - 2)\bigr).

Passo 3

Aplicando diretamente a propriedade de amostragem:
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t}\,\delta\bigl(t - (\beta - 2)\bigr)\,dt = e^{-\bigl(\beta - 2\bigr)}.

Passo 4

Como a integração é em todo o eixo real, não há restrição adicional sobre \beta. Portanto o resultado é válido para qualquer constante \beta.

Resposta

e^{-\beta + 2}

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