Calcule as seguintes integrais:
\int_{-\infty}^{+\infty} t(u(t+2)-u(t-1)) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-\infty}^{+\infty} t\bigl(u(t+2)-u(t-1)\bigr)\,dt,
onde u(\cdot) é a função degrau unitário. Vamos usar o fato de que u(t-a) “liga” em t=a para determinar onde o integrando é não–nulo.

Passo 2

Analisamos a diferença de degraus:
u(t+2)= \begin{cases} 0, & t< -2,\\\\ 1, & t\ge -2, \end{cases} \qquad u(t-1)= \begin{cases} 0, & t< 1,\\\\ 1, & t\ge 1. \end{cases}
Logo,
u(t+2)-u(t-1)= \begin{cases} 0, & t< -2,\\\\ 1, & -2\le t<1,\\\\ 0, & t\ge 1. \end{cases}

Passo 3

Pelo resultado do passo anterior, o integrando é t apenas em -2\le t<1 e zero fora desse intervalo. Assim
\int_{-\infty}^{+\infty} t\bigl(u(t+2)-u(t-1)\bigr)\,dt =\int_{-2}^{1} t\,dt.

Passo 4

Calculamos
\int_{-2}^{1} t\,dt =\left[\frac{t^2}{2}\right]_{-2}^{1} =\frac{1^2}{2}-\frac{(-2)^2}{2} =\frac{1}{2}-\frac{4}{2} =-\frac{3}{2}.

Resposta

-\frac{3}{2}.

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