Calcule as seguintes integrais:
(a)
\int_{2}^{6}\left(3 x^{2}-2 x-1\right) \delta(x-3) \mathrm{d} x
(b)
\int_{0}^{5} \cos x \delta(x-\pi) \mathrm{d} x
(c)
\int_{0}^{3} x^{3} \delta(x+1) \mathrm{d} x
(d)
\int_{-\infty}^{\infty} \ln (x+3) \delta(x+2) \mathrm{d} x
(e)
\int_{-2}^{2}(2 x+3) \delta(3 x) \mathrm{d} x
(f)
\int_{0}^{2}\left(x^{3}+3 x+2\right) \delta(1-x) \mathrm{d} x
(g)
\int_{-1}^{1} 9 x^{2} \delta(3 x+1) \mathrm{d} x
(h)
\int_{-\infty}^{a} \delta(x-b) \mathrm{d} x

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são as informações dadas. O exercício pede para calcular as seguintes integrais (cada letra é uma integral distinta):
(a) \displaystyle \int_{2}^{6}\left(3 x^{2}-2 x-1\right) \delta(x-3)\,\mathrm{d}x
(b) \displaystyle \int_{0}^{5} \cos x\, \delta(x-\pi)\,\mathrm{d}x
(c) \displaystyle \int_{0}^{3} x^{3}\, \delta(x+1)\,\mathrm{d}x
(d) \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \ln (x+3)\, \delta(x+2)\,\mathrm{d}x
(e) \displaystyle \int_{-2}^{2}(2 x+3)\, \delta(3 x)\,\mathrm{d}x
(f) \displaystyle \int_{0}^{2}\left(x^{3}+3 x+2\right)\, \delta(1-x)\,\mathrm{d}x
(g) \displaystyle \int_{-1}^{1} 9 x^{2}\, \delta(3 x+1)\,\mathrm{d}x
(h) \displaystyle \int_{-\infty}^{a} \delta(x-b)\,\mathrm{d}x
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Todas as integrais envolvem a função delta de Dirac \delta(\cdot).
  • Para cada integral há um intervalo de integração explícito (ou infinito) e uma função multiplicando \delta.
  • Alguns argumentos do delta são da forma \delta(x-a) (deslocamento simples) e outros são \delta(\alpha x+\beta) (fator linear em x).
A resolução começa agora.

Passo 2

Vou apresentar a propriedade fundamental do delta de Dirac que vou usar (a chamada propriedade de amostragem ou “sifting property”) e explicar o que cada símbolo significa.
Propriedade básica: para uma função contínua f(x) e um número a,
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,\delta(x-a)\,\mathrm{d}x = f(a).
Isto significa: a integral “pega” o valor de f no ponto onde o argumento do delta é zero ( x=a). Em intervalos finitos a propriedade vale desde que o ponto a esteja dentro do intervalo de integração; se a não estiver dentro do intervalo, a integral vale zero.
Explicando cada parte:
  • f(x) é qualquer função suficientemente bem-comportada (contínua no ponto de interesse).
  • \delta(x-a) é uma distribuição concentrada em x=a: integral contra \delta(x-a) “amostra” f em x=a.
  • Se o ponto a está fora do intervalo de integração, o valor é zero porque a massa da delta não está no intervalo.

Passo 3

Quando o argumento do delta é uma função linear g(x)=\alpha x+\beta com \alpha\neq0, usa-se a regra de mudança de variável que dá:
\delta(\alpha x+\beta)=\frac{1}{|\alpha|}\,\delta\!\left(x+\frac{\beta}{\alpha}\right).
Assim, para uma integral qualquer,
\int f(x)\,\delta(\alpha x+\beta)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{|\alpha|}\,f\!\left(-\frac{\beta}{\alpha}\right)
desde que o ponto x=-\dfrac{\beta}{\alpha} esteja dentro do intervalo de integração. Essa fórmula é uma aplicação direta da propriedade básica com a mudança linear de variável. Aqui:
  • \alpha é o coeficiente de x em g(x),
  • -\dfrac{\beta}{\alpha} é a raiz de g(x) (o ponto onde g(x)=0),
  • o fator 1/|\alpha| aparece porque a delta “espalha” conforme a escala da variável.

Passo 4

Agora resolvo cada item usando as propriedades acima. Começo pelo (a), explicando passo a passo e mostrando as contas.
(a) Temos \delta(x-3). A raiz é x=3. O intervalo de integração é [2,6], que contém x=3. Pela propriedade básica,
\int_{2}^{6}\left(3 x^{2}-2 x-1\right) \delta(x-3)\,\mathrm{d}x = \left. \bigl(3 x^{2}-2 x-1\bigr)\right|_{x=3}.
Calculemos:
3\cdot 3^{2}-2\cdot 3-1 = 3\cdot 9 -6 -1 = 27-7 = 20.

Passo 5

(b) \displaystyle \int_{0}^{5} \cos x\, \delta(x-\pi)\,\mathrm{d}x.
O argumento \delta(x-\pi) tem raiz x=\pi. Como \pi\approx 3{,}1416 e está no intervalo [0,5], a integral é simplesmente
\cos(\pi) = -1.
Portanto o valor é -1.

Passo 6

(c) \displaystyle \int_{0}^{3} x^{3}\, \delta(x+1)\,\mathrm{d}x.
O argumento \delta(x+1) tem raiz x=-1. O intervalo de integração é [0,3], que NÃO contém x=-1. Logo, a massa da delta está fora do intervalo e a integral vale
0.

Passo 7

(d) \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \ln (x+3)\, \delta(x+2)\,\mathrm{d}x.
Aqui a raiz de \delta(x+2) é x=-2. O intervalo de integração é todo (-\infty,\infty), então inclui x=-2. Aplicando a propriedade,
\ln\bigl((-2)+3\bigr) = \ln(1) = 0.
Portanto a integral é 0.

Passo 8

(e) \displaystyle \int_{-2}^{2}(2 x+3)\, \delta(3 x)\,\mathrm{d}x.
Aplicamos a regra para argumento linear: \delta(3x)=\dfrac{1}{3}\,\delta(x) (porque \alpha=3, \beta=0). A raiz é x=0 (que está no intervalo [-2,2]). Então
\int_{-2}^{2}(2 x+3)\, \delta(3 x)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3}\,(2\cdot 0+3) = \frac{1}{3}\cdot 3 = 1.

Passo 9

(f) \displaystyle \int_{0}^{2}\left(x^{3}+3 x+2\right)\, \delta(1-x)\,\mathrm{d}x.
Observação: \delta(1-x)=\delta(x-1) (porque \delta é par no sentido \delta(-u)=\delta(u) e mais diretamente pela mudança de variável u=1-x). A raiz é x=1, que está em [0,2]. Logo a integral é o valor da função no ponto x=1:
1^{3}+3\cdot 1 +2 = 1+3+2 = 6.

Passo 10

(g) \displaystyle \int_{-1}^{1} 9 x^{2}\, \delta(3 x+1)\,\mathrm{d}x.
Aqui temos a forma linear 3x+1. A raiz é x=-\dfrac{1}{3}, que pertence ao intervalo [-1,1]. Pelo passo 3, \delta(3x+1)=\dfrac{1}{3}\,\delta\!\left(x+\dfrac{1}{3}\right). Portanto
\int_{-1}^{1} 9 x^{2}\, \delta(3 x+1)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3}\, \Bigl(9\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)^{2}\Bigr).
Calculemos dentro do parêntese:
9\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)^{2} = 9\cdot \tfrac{1}{9} = 1.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{3}
\frac{1}{3}\cdot 1 = \frac{1}{3}.

Passo 11

(h) [\displaystyle \int_{-\infty}^{a} \delta(x-b),\mathrm{d}x).
Esta integral representa a função degrau (função de Heaviside) deslocada. O resultado depende da relação entre a e b:
  • Se a<b, o ponto x=b está à direita do limite superior, então a integral vale 0.
  • Se a>b, o ponto x=b está dentro do intervalo (-\infty,a], então a integral vale 1.
  • Se a=b, a integral captura exatamente a massa da delta no limite superior; o valor depende da convenção para a distribuição no ponto de descontinuidade. A convenção mais comum em teoria das distribuições (convenção simétrica) atribui o valor \tfrac{1}{2} para a função degrau no ponto de descontinuidade. Assim, usando essa convenção,
\int_{-\infty}^{a} \delta(x-b)\,\mathrm{d}x = \begin{cases} 0, & a<b,\\[4pt] \dfrac{1}{2}, & a=b,\\[4pt] 1, & a>b. \end{cases}
Em linguagem compacta isso é a função de Heaviside H(a-b)\] com \(H(0)=\tfrac{1}{2}.]

Resposta

(a) 20\) (b) \(-1\) \text{(c)} \(0\) (d) \(0\) (e) \(1\) (f) \(6\) (g) \(\dfrac{1}{3}\) (h) \(\displaystyle \begin{cases} 0, & a<b,\\[4pt] \dfrac{1}{2}, & a=b,\\[4pt] 1, & a>b. \end{cases}]

Exercícios relacionados