Calcule as seguintes integrais:
(a) \int_{2}^{6}\left(3 x^{2}-2 x-1\right) \delta(x-3) \mathrm{d} x
(b) \int_{0}^{5} \cos x \delta(x-\pi) \mathrm{d} x
(c) \int_{0}^{3} x^{3} \delta(x+1) \mathrm{d} x
(d) \int_{-\infty}^{\infty} \ln (x+3) \delta(x+2) \mathrm{d} x
(e) \int_{-2}^{2}(2 x+3) \delta(3 x) \mathrm{d} x
(f) \int_{0}^{2}\left(x^{3}+3 x+2\right) \delta(1-x) \mathrm{d} x
(g) \int_{-1}^{1} 9 x^{2} \delta(3 x+1) \mathrm{d} x
(h) \int_{-\infty}^{a} \delta(x-b) \mathrm{d} x
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são as informações dadas. O exercício pede para calcular as seguintes integrais (cada letra é uma integral distinta):
Todas as integrais envolvem a função delta de Dirac \delta(\cdot).
Para cada integral há um intervalo de integração explícito (ou infinito) e uma função multiplicando \delta.
Alguns argumentos do delta são da forma \delta(x-a) (deslocamento simples) e outros são \delta(\alpha x+\beta) (fator linear em x).
A resolução começa agora.
Passo 2
Vou apresentar a propriedade fundamental do delta de Dirac que vou usar (a chamada propriedade de amostragem ou “sifting property”) e explicar o que cada símbolo significa.
Propriedade básica: para uma função contínua f(x) e um número a,
Isto significa: a integral “pega” o valor de f no ponto onde o argumento do delta é zero (x=a). Em intervalos finitos a propriedade vale desde que o ponto a esteja dentro do intervalo de integração; se a não estiver dentro do intervalo, a integral vale zero.
Explicando cada parte:
f(x) é qualquer função suficientemente bem-comportada (contínua no ponto de interesse).
\delta(x-a) é uma distribuição concentrada em x=a: integral contra \delta(x-a) “amostra” f em x=a.
Se o ponto a está fora do intervalo de integração, o valor é zero porque a massa da delta não está no intervalo.
Passo 3
Quando o argumento do delta é uma função linear g(x)=\alpha x+\beta com \alpha\neq0, usa-se a regra de mudança de variável que dá:
desde que o ponto x=-\dfrac{\beta}{\alpha} esteja dentro do intervalo de integração. Essa fórmula é uma aplicação direta da propriedade básica com a mudança linear de variável. Aqui:
\alpha é o coeficiente de x em g(x),
-\dfrac{\beta}{\alpha} é a raiz de g(x) (o ponto onde g(x)=0),
o fator 1/|\alpha| aparece porque a delta “espalha” conforme a escala da variável.
Passo 4
Agora resolvo cada item usando as propriedades acima. Começo pelo (a), explicando passo a passo e mostrando as contas.
(a) Temos \delta(x-3). A raiz é x=3. O intervalo de integração é [2,6], que contém x=3. Pela propriedade básica,
O argumento \delta(x+1) tem raiz x=-1. O intervalo de integração é [0,3], que NÃO contém x=-1. Logo, a massa da delta está fora do intervalo e a integral vale
Aplicamos a regra para argumento linear: \delta(3x)=\dfrac{1}{3}\,\delta(x) (porque \alpha=3, \beta=0). A raiz é x=0 (que está no intervalo [-2,2]). Então
Observação: \delta(1-x)=\delta(x-1) (porque \delta é par no sentido \delta(-u)=\delta(u) e mais diretamente pela mudança de variável u=1-x). A raiz é x=1, que está em [0,2]. Logo a integral é o valor da função no ponto x=1:
Aqui temos a forma linear 3x+1. A raiz é x=-\dfrac{1}{3}, que pertence ao intervalo [-1,1]. Pelo passo 3, \delta(3x+1)=\dfrac{1}{3}\,\delta\!\left(x+\dfrac{1}{3}\right). Portanto
Esta integral representa a função degrau (função de Heaviside) deslocada. O resultado depende da relação entre a e b:
Se a<b, o ponto x=b está à direita do limite superior, então a integral vale 0.
Se a>b, o ponto x=b está dentro do intervalo (-\infty,a], então a integral vale 1.
Se a=b, a integral captura exatamente a massa da delta no limite superior; o valor depende da convenção para a distribuição no ponto de descontinuidade. A convenção mais comum em teoria das distribuições (convenção simétrica) atribui o valor \tfrac{1}{2} para a função degrau no ponto de descontinuidade. Assim, usando essa convenção,