Calcule as seguintes integrais:
\int_{1}^{4} \int_{1}^{4}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{1}^{4}\int_{1}^{4}\Bigl(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\Bigr)\,dy\,dx
sobre o retângulo [1,4]\times[1,4]. Como o integrando é a soma de duas funções que se separam em x e y, vamos usar o Teorema de Fubini e a linearidade para escrever essa integral como a soma de duas integrais mais simples.

Passo 2

Seja
I=\int_{1}^{4}\int_{1}^{4}\frac{x}{y}\,dy\,dx \quad\text{e}\quad J=\int_{1}^{4}\int_{1}^{4}\frac{y}{x}\,dy\,dx.
Então
\int_{1}^{4}\int_{1}^{4}\Bigl(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\Bigr)\,dy\,dx =I+J.

Passo 3

Calcular I:
I=\int_{1}^{4}\biggl[x\int_{1}^{4}\frac{1}{y}\,dy\biggr]dx =x\text{ é constante em relação a }y.éçã
Como
\int_{1}^{4}\frac{1}{y}\,dy=[\ln y]_{1}^{4}=\ln 4,
temos
I=\int_{1}^{4}x\cdot\ln4\,dx =\ln4\int_{1}^{4}x\,dx =\ln4\Bigl[\frac{x^{2}}{2}\Bigr]_{1}^{4} =\ln4\cdot\frac{15}{2}.

Passo 4

Calcular J:
J=\int_{1}^{4}\biggl[\frac{1}{x}\int_{1}^{4}y\,dy\biggr]dx =\int_{1}^{4}\frac{1}{x}\cdot\frac{15}{2}\,dx =\frac{15}{2}\int_{1}^{4}\frac{1}{x}\,dx =\frac{15}{2}[\ln x]_{1}^{4} =\frac{15}{2}\ln4.

Passo 5

Somando as duas parcelas:
I+J=\frac{15}{2}\ln4+\frac{15}{2}\ln4 =15\ln4 =15\cdot2\ln2 =30\ln2.

Resposta

\int_{1}^{4}\int_{1}^{4}\Bigl(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\Bigr)\,dy\,dx =30\ln2.

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