Estude a derivabilidade das seguintes funções, em seus respectivos domínios:
f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, definida pela regra: f(x)=|x|;

Passo 1

O enunciado pede para estudar a derivabilidade da função
f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}
definida por
f(x)=|x|.
O conteúdo aqui é derivabilidade de função definida por valor absoluto. Vamos usar a definição de valor absoluto e a definição de derivada por limite para diferenciar em todo o domínio.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos f\) de forma piecewise para visualizar melhor os ramos: \[f(x)= \begin{cases} x & \text{se }x\ge0,\\\\ -\,x & \text{se }x<0. \end{cases}
Essa representação mostra dois ramos lineares, um para x\ge0\] e outro para \(x<0.

Passo 3

Em cada ramo aberto a função é linear, logo diferenciável, e a derivada é a constante correspondente:
Para x>0,
f(x)=x\implies f'(x)=1.
Para x<0,
f(x)=-x\implies f'(x)=-1.

Passo 4

Falta verificar a derivabilidade em x=0. Usamos a definição
f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{|h|-0}{h} =\lim_{h\to0}\frac{|h|}{h}.
Quando h\to0^+, \frac{|h|}{h}=1.
Quando h\to0^-, \frac{|h|}{h}=-1.
Como os limites lateral direito e esquerdo são diferentes, o limite não existe, logo f não é diferenciável em 0.

Resposta

A função f(x)=|x|\) é diferenciável em todo \(x\neq0\), com \[f'(x)= \begin{cases} 1 & x>0,\\\\ -1 & x<0, \end{cases}
e não é diferenciável em (x=0].

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