Estude a derivabilidade das seguintes funções, em seus respectivos domínios:
, definida pela regra:
;
Passo 1
O enunciado pede para estudar a derivabilidade da função
definida por
O conteúdo aqui é derivabilidade de função definida por valor absoluto. Vamos usar a definição de valor absoluto e a definição de derivada por limite para diferenciar em todo o domínio.
Passo 2
Primeiro, reescrevemos
Essa representação mostra dois ramos lineares, um para
.
Passo 3
Em cada ramo aberto a função é linear, logo diferenciável, e a derivada é a constante correspondente:
Para ,
Para
Para
,
Passo 4
Falta verificar a derivabilidade em
. Usamos a definição
Quando
,
.
Quando ,
.
Como os limites lateral direito e esquerdo são diferentes, o limite não existe, logo não é diferenciável em
.
Quando
Como os limites lateral direito e esquerdo são diferentes, o limite não existe, logo
Resposta
A função
e não é diferenciável em (x=0].