Usando a definição de derivada, mostre que se:
f(x)=\arctan x \Longrightarrow f^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para usar a definição de derivada pelo limite do quociente de diferenças para obter a derivada de
f(x)=\arctan x.
O conteúdo principal é a definição
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
além da identidade trigonométrica para a diferença de arctangentes e do limite conhecido
\lim_{t\to0}\frac{\arctan t}{t}=1.

Passo 2

Aplicamos diretamente a definição de derivada:
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\arctan(x+h)-\arctan x}{h}.

Passo 3

Para simplificar o numerador, use a identidade
\arctan u - \arctan v = \arctan\!\Bigl(\frac{u-v}{1+uv}\Bigr).
Aqui u=x+h e v=x, logo
\arctan(x+h)-\arctan x = \arctan\!\Bigl(\frac{(x+h)-x}{1+x(x+h)}\Bigr) = \arctan\!\Bigl(\frac{h}{1+x(x+h)}\Bigr).

Passo 4

Substituindo no quociente de diferenças, temos
f'(x) = \lim_{h\to0}\frac{1}{h}\,\arctan\!\Bigl(\frac{h}{1+x(x+h)}\Bigr).
Defina
t = \frac{h}{1+x(x+h)},
então \arctan\bigl(\frac{h}{1+x(x+h)}\bigr)=\arctan t e
\frac{t}{h} = \frac{1}{1+x(x+h)}.
O quociente fica
\frac{\arctan t}{h} = \frac{\arctan t}{t}\,\frac{t}{h} = \frac{\arctan t}{t}\,\frac{1}{1+x(x+h)}.

Passo 5

Ao fazer h\to0, nota-se que x+h\to x, então
\frac{\arctan t}{t}\to1 \quad\text{e}\quad \frac{1}{1+x(x+h)}\to\frac{1}{1+x^2}.
Portanto
f'(x) =1\cdot\frac{1}{1+x^2} =\frac{1}{1+x^2}.

Resposta

f'(x)=\frac{1}{1+x^2}.

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