Resolva apenas um dos seguintes PVIs:
\left\{\begin{array}{l}x y^{\prime}+y=3 x^{5}, \\\ y(1)=1 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI \r
\begin{cases} x\,y'+y=3x^{5},\\\ y(1)=1. \end{cases}
Trata-se de uma equação diferencial linear de 1ª ordem. Para resolver, vamos primeiro escrever em forma padrão e depois usar fator integrante.

Passo 2

Dividindo por x (assumindo x\neq0), obtemos a forma
y'+\frac{1}{x}\,y=3x^{4}.
O coeficiente de y é \frac{1}{x}, então o fator integrante é
\mu(x)=\exp\Bigl(\int\frac{1}{x}\,dx\Bigr)=\exp(\ln|x|)=x.

Passo 3

Multiplicando a equação padrão por \mu(x)=x, fica
x\,y'+y = \frac{d}{dx}\bigl(x\,y\bigr) = 3x^{5}.
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\bigl(x\,y\bigr)\,dx = \int 3x^{5}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,y = \frac{3}{6}x^{6} + C = \frac{1}{2}x^{6} + C.

Passo 4

Isolando y e impondo a condição inicial y(1)=1, temos
y = \frac{1}{2}x^{5} + C\,x^{-1},
1 = y(1) = \frac{1}{2}\cdot1^{5} + C\cdot1^{-1} \quad\Longrightarrow\quad C=\tfrac12.

Resposta

y(x)=\frac{1}{2}\,x^{5}+\frac{1}{2}\,x^{-1}.

Exercícios relacionados