A expressão 3^{2} .6 .7 representa uma decomposição completa? Justifique.

Passo 1

O enunciado pergunta se a expressão 3^{2}\cdot 6\cdot 7 já é uma decomposição completa em fatores primos. O conteúdo aqui é fatoração em números primos, e para resolver precisamos lembrar a definição de decomposição completa: um produto de fatores em que todos são primos.

Passo 2

Definição de decomposição completa em fatores primos: é escrever um número como
p_{1}^{\alpha_{1}}\cdot p_{2}^{\alpha_{2}}\cdots p_{k}^{\alpha_{k}},
onde cada p_{i} é primo e cada \alpha_{i} é inteiro positivo.

Passo 3

Na expressão dada temos três fatores:
  • 3^{2}, onde 3 é primo,
  • 6, mas 6 não é primo (é composto),
  • 7, que é primo.
    Como aparece o fator composto 6, a expressão não está em decomposição completa.

Passo 4

Para completar, decompomos o 6 em primos:
6 = 2 \cdot 3.
Substituindo em 3^{2}\cdot 6\cdot 7 e reunindo potências de 3, obtemos
3^{2}\cdot (2\cdot 3)\cdot 7 =2\cdot 3^{2+1}\cdot 7 =2\cdot 3^{3}\cdot 7.

Passo 5

Portanto, a forma completa em fatores primos é
2\cdot 3^{3}\cdot 7,
e não a dada inicialmente, pois ela ainda continha o fator composto 6.

Resposta

Não. Porque a expressão contém o fator composto 6; para ser completa, todos os fatores devem ser primos. A decomposição correta é
2\cdot 3^{3}\cdot 7.

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