Use integral tripla para determinar o volume do sólido limitado pelos planos coordenados e 2 x+2 y+z=4.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido em primeiro octante (limitado pelos planos coordenados x=0, y=0, z=0) e pelo plano
2x + 2y + z = 4.
O conteúdo envolvido é integrais triplas para cálculo de volume. Vamos descrever a região de integração e montar a integral.

Passo 2

Reescrevendo o plano como
z = 4 - 2x - 2y,
vemos que, para cada (x,y) em primeiro octante, z varia de 0 até 4 - 2x - 2y. Além disso, na projeção no plano xy, temos
4 - 2x - 2y \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x + 2y \le 4 \quad\Longrightarrow\quad x + y \le 2.
Logo, x vai de 0 a 2 e, para cada x, y vai de 0 a 2 - x.

Passo 3

O volume V é dado pela integral tripla
V = \iiint_{V} dV = \int_{x=0}^{2} \int_{y=0}^{\,2 - x} \int_{z=0}^{\,4 - 2x - 2y} dz\,dy\,dx.

Passo 4

Calcule a integral interna em z:
\int_{z=0}^{4 - 2x - 2y} dz = \bigl[z\bigr]_{0}^{4 - 2x - 2y} = 4 - 2x - 2y.

Passo 5

Agora integramos em y:
\int_{y=0}^{2 - x} (4 - 2x - 2y)\,dy = \bigl[(4 - 2x)\,y - y^{2}\bigr]_{0}^{2 - x} = (4 - 2x)(2 - x) - (2 - x)^{2}.
Desenvolvendo:
(4 - 2x)(2 - x) = 8 - 8x + 2x^{2}, \quad (2 - x)^{2} = 4 - 4x + x^{2},
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(4 - 2x)(2 - x) - (2 - x)^{2} = \bigl(8 - 8x + 2x^{2}\bigr) - \bigl(4 - 4x + x^{2}\bigr) = 4 - 4x + x^{2}.

Passo 6

Finalmente, integramos em x:
\int_{x=0}^{2} \bigl(4 - 4x + x^{2}\bigr)\,dx = \bigl[4x - 2x^{2} + \tfrac{x^{3}}{3}\bigr]_{0}^{2} = \bigl(8 - 8 + \tfrac{8}{3}\bigr) - 0 = \tfrac{8}{3}.

Resposta

O volume do sólido é \displaystyle \tfrac{8}{3} unidades cúbicas.

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