Calcule as seguintes integrais:
\int_{0}^{2}\left[t^{5} \vec{i}+t e^{t^{2}} \vec{j}+t^{4} \cos \left(t^{5}\right) \vec{k}\right] d t

Passo 1

Temos a integral de um campo vetorial em função de t no intervalo de 0 a 2, ou seja,
\int_{0}^{2}\bigl[t^{5}\,\vec{i}+t\,e^{t^{2}}\,\vec{j}+t^{4}\cos\bigl(t^{5}\bigr)\,\vec{k}\bigr]\,dt.
Como a integração é linear, podemos integrar cada componente separadamente:
\int_{0}^{2}t^{5}\,dt\;\vec{i},\quad \int_{0}^{2}t\,e^{t^{2}}\,dt\;\vec{j},\quad \int_{0}^{2}t^{4}\cos\bigl(t^{5}\bigr)\,dt\;\vec{k}.

Passo 2

Para a componente em \vec{i}, basta usar a regra de potência:
\int_{0}^{2}t^{5}\,dt =\left[\frac{t^{6}}{6}\right]_{0}^{2} =\frac{2^{6}}{6}-0 =\frac{64}{6} =\frac{32}{3}.

Passo 3

Para a componente em \vec{j}, vamos usar a substituição u=t^{2}, de modo que du=2t\,dt, ou seja, t\,dt=\tfrac{1}{2}\,du. Os limites em u vão de 0 (quando t=0) até 4 (quando t=2). Assim,
\int_{0}^{2}t\,e^{t^{2}}\,dt =\int_{u=0}^{4}e^{u}\,\frac{du}{2} =\frac{1}{2}\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{4} =\frac{1}{2}(e^{4}-1).

Passo 4

Para a componente em \vec{k}, fazemos a substituição v=t^{5}, com dv=5\,t^{4}\,dt, ou seja, t^{4}\,dt=\tfrac{1}{5}\,dv. Quando t vai de 0 a 2, v vai de 0 a 32. Então
\int_{0}^{2}t^{4}\cos\bigl(t^{5}\bigr)\,dt =\int_{v=0}^{32}\cos(v)\,\frac{dv}{5} =\frac{1}{5}\bigl[\sin(v)\bigr]_{0}^{32} =\frac{\sin(32)}{5}.

Resposta

\int_{0}^{2}\bigl[t^{5}\,\vec{i}+t\,e^{t^{2}}\,\vec{j}+t^{4}\cos\bigl(t^{5}\bigr)\,\vec{k}\bigr]\,dt =\frac{32}{3}\,\vec{i} +\frac{e^{4}-1}{2}\,\vec{j} +\frac{\sin(32)}{5}\,\vec{k}.

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