Calcule as seguintes integrais:
\int \ln x d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \ln x \, dx.
Informações dadas: a função integranda é \ln x. Como \ln x só está definida para x>0, a integral considerada é em x>0. É uma integral indefinida, então o resultado deve conter uma constante de integração C. Neste passo não vou resolver nada, só deixei claro o que é pedido.

Passo 2

Vamos usar a técnica de integração por partes. Primeiro, explico de onde vem a fórmula de integração por partes de maneira simples e direta. Partimos da regra do produto para derivadas: se u=u(x) e v=v(x), então
(uv)' = u'v + uv'.
Integrando ambos os lados em relação a x,
\int (uv)' \, dx = \int u'v \, dx + \int uv' \, dx.
O lado esquerdo é simplesmente uv. Rearranjando para isolar uma integral, obtemos a fórmula
\int u\, dv = uv - \int v\, du,
onde usamos a notação du = u'(x)\,dx e dv = v'(x)\,dx. Essa é a fórmula de integração por partes. Vou explicar o que cada pedaço significa: u é uma função que escolhemos para ser diferenciada (porque sua derivada é mais simples) e dv é a parte que escolhemos para integrar facilmente, produzindo v.

Passo 3

Agora, aplicando isso na integral \int \ln x \, dx. Precisamos escolher u e dv. Uma escolha natural e rotineira é:
u = \ln x,\qquad dv = dx.
Por que essa escolha? Porque \ln x simplifica ao ser derivada (vira 1/x), e dv=dx é trivial de integrar (vira x). Essa é a típica heurística: escolha u que fica mais simples ao derivar e dv que seja fácil de integrar.

Passo 4

Calculamos du e v a partir das escolhas:
du = \frac{d}{dx}(\ln x)\,dx = \frac{1}{x}\,dx,
v = \int dv = \int dx = x.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:
\int \ln x \, dx = u v - \int v\, du.
Substituindo u, v e du,
\int \ln x \, dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Dentro da integral a expressão simplifica:
x\cdot\frac{1}{x} = 1,
logo
\int \ln x \, dx = x\ln x - \int 1 \, dx.

Passo 6

Calcule a integral restante \int 1 \, dx, que é simplesmente x. Portanto ficamos com
\int \ln x \, dx = x\ln x - x + C,
onde C é a constante de integração. Lembrete: vale para x>0.

Passo 7

Verificação rápida (sempre bom checar em prova): derivamos o resultado para ver se voltamos para \ln x. Seja F(x)=x\ln x - x. Derivando:
F'(x) = \frac{d}{dx}(x\ln x) - \frac{d}{dx}x.
Usando a regra do produto em x\ln x:
\frac{d}{dx}(x\ln x) = 1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x} = \ln x + 1.
Subtraindo \frac{d}{dx}x = 1, obtemos
F'(x) = (\ln x + 1) - 1 = \ln x.
Isso confirma que F'(x)=\ln x, então a antiderivada está correta.

Passo 8

Exemplos rápidos para fixar a ideia:
  • Se aparecer \int \ln(ax)\,dx com a>0, você pode aplicar a mesma técnica ou usar \ln(ax)=\ln a + \ln x e obter
\int \ln(ax)\,dx = x\ln(ax) - x + C.
  • Para \int \ln(x^2)\,dx, use \ln(x^2)=2\ln x e encontre
\int \ln(x^2)\,dx = 2\bigl(x\ln x - x\bigr) + C = 2x\ln x - 2x + C.

Resposta

x\ln x - x + C

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