Calcule as seguintes integrais:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função integranda é
. Como
só está definida para
, a integral considerada é em
. É uma integral indefinida, então o resultado deve conter uma constante de integração
. Neste passo não vou resolver nada, só deixei claro o que é pedido.
Passo 2
Vamos usar a técnica de integração por partes. Primeiro, explico de onde vem a fórmula de integração por partes de maneira simples e direta. Partimos da regra do produto para derivadas: se
e
, então
Integrando ambos os lados em relação a
,
O lado esquerdo é simplesmente
. Rearranjando para isolar uma integral, obtemos a fórmula
onde usamos a notação
e
. Essa é a fórmula de integração por partes. Vou explicar o que cada pedaço significa:
é uma função que escolhemos para ser diferenciada (porque sua derivada é mais simples) e
é a parte que escolhemos para integrar facilmente, produzindo
.
Passo 3
Agora, aplicando isso na integral
. Precisamos escolher
e
. Uma escolha natural e rotineira é:
Por que essa escolha? Porque
simplifica ao ser derivada (vira
), e
é trivial de integrar (vira
). Essa é a típica heurística: escolha
que fica mais simples ao derivar e
que seja fácil de integrar.
Passo 4
Calculamos
e
a partir das escolhas:
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
,
Dentro da integral a expressão simplifica:
logo
Passo 6
Calcule a integral restante
, que é simplesmente
. Portanto ficamos com
onde
é a constante de integração. Lembrete: vale para
.
Passo 7
Verificação rápida (sempre bom checar em prova): derivamos o resultado para ver se voltamos para
. Seja
. Derivando:
Usando a regra do produto em
:
Subtraindo
, obtemos
Isso confirma que
, então a antiderivada está correta.
Passo 8
Exemplos rápidos para fixar a ideia:
- Se aparecer
com , você pode aplicar a mesma técnica ou usar e obter
- Para
, use e encontre