Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral
Informações dadas (tudo que temos explicitamente):
- o integrando é
;
- o intervalo de integração é
.
Nada mais é fornecido. A partir daqui vamos manipular essa integral usando propriedades básicas de integrais e substituições.
Nada mais é fornecido. A partir daqui vamos manipular essa integral usando propriedades básicas de integrais e substituições.
Passo 2
Usamos a linearidade da integral para separar a soma:
Denotamos
Vamos calcular
e
separadamente.
Passo 3
Cálculo de
. Primeiro transformamos
numa forma conveniente:
porque usamos a identidade
. Essa escrita é útil para aplicar a substituição
, já que a derivada de
envolve
.
Fazendo a substituição
, temos
, ou seja
.
Alteramos também os limites: quando temos
; quando
temos
.
Alteramos também os limites: quando
Portanto
Trocando os limites para ordem crescente (o que muda o sinal):
Agora integramos polinomialmente: uma primitiva de
é
. Assim
Calculando cada termo:
Subtraindo:
Passo 4
Cálculo de
. Aqui podemos fazer a substituição direta
. Então
, ou seja
.
Alterando os limites: para temos
; para
temos
.
Alterando os limites: para
Assim
Uma integral definida com mesmos limites é zero:
(Alternativa curta: observar que
e que a integral de
em um múltiplo inteiro de seu período também é zero.)
Passo 5
Somamos os resultados:
Dica rápida para a prova: quando vir potências ímpares de
ou
, tente isolar um fator
ou
e usar a identidade
(ou o contrário) para aplicar
ou
. E sempre verifique limites ao fazer substituição.