Calcule as seguintes integrais:
\int_{0}^{\pi}\left[\operatorname{sen}^{3} \theta+\cos \theta \cdot \operatorname{sen} \theta\right] d \theta

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral
\int_{0}^{\pi}\left[\sin^{3}\theta+\cos\theta\cdot\sin\theta\right]\,d\theta.
Informações dadas (tudo que temos explicitamente):
\; - o integrando é \sin^{3}\theta+\cos\theta\sin\theta;
\; - o intervalo de integração é \theta\in[0,\pi].
Nada mais é fornecido. A partir daqui vamos manipular essa integral usando propriedades básicas de integrais e substituições.

Passo 2

Usamos a linearidade da integral para separar a soma:
\int_{0}^{\pi}\left[\sin^{3}\theta+\cos\theta\sin\theta\right]\,d\theta = \int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta\,d\theta + \int_{0}^{\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta.
Denotamos
I_1=\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta\,d\theta, \qquad I_2=\int_{0}^{\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta.
Vamos calcular I_1 e I_2 separadamente.

Passo 3

Cálculo de I_1. Primeiro transformamos \sin^{3}\theta numa forma conveniente:
\sin^{3}\theta=\sin\theta\cdot\sin^{2}\theta=\sin\theta\cdot(1-\cos^{2}\theta),
porque usamos a identidade \sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta. Essa escrita é útil para aplicar a substituição u=\cos\theta, já que a derivada de \cos\theta envolve \sin\theta.
Fazendo a substituição u=\cos\theta, temos du=-\sin\theta\,d\theta, ou seja \sin\theta\,d\theta=-du.
Alteramos também os limites: quando \theta=0 temos u=\cos 0=1; quando \theta=\pi temos u=\cos\pi=-1.
Portanto
I_1=\int_{0}^{\pi}\sin\theta(1-\cos^{2}\theta)\,d\theta =-\int_{1}^{-1}(1-u^{2})\,du.
Trocando os limites para ordem crescente (o que muda o sinal):
I_1=\int_{-1}^{1}(1-u^{2})\,du.
Agora integramos polinomialmente: uma primitiva de 1-u^{2} é u-\dfrac{u^{3}}{3}. Assim
I_1=\left[u-\frac{u^{3}}{3}\right]_{-1}^{1} =\left(1-\frac{1^{3}}{3}\right)-\left(-1-\frac{(-1)^{3}}{3}\right).
Calculando cada termo:
1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3},\qquad -1-\left(-\frac{1}{3}\right)=-1+\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}.
Subtraindo:
I_1=\frac{2}{3}-\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{3}.

Passo 4

Cálculo de I_2. Aqui podemos fazer a substituição direta v=\sin\theta. Então dv=\cos\theta\,d\theta, ou seja \cos\theta\,d\theta=dv.
Alterando os limites: para \theta=0 temos v=\sin 0=0; para \theta=\pi temos v=\sin\pi=0.
Assim
I_2=\int_{0}^{\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta=\int_{v(0)=0}^{v(\pi)=0} v\,dv.
Uma integral definida com mesmos limites é zero:
I_2=\int_{0}^{0} v\,dv=0.
(Alternativa curta: observar que \cos\theta\sin\theta=\tfrac{1}{2}\sin(2\theta) e que a integral de \sin(2\theta) em um múltiplo inteiro de seu período também é zero.)

Passo 5

Somamos os resultados:
\int_{0}^{\pi}\left[\sin^{3}\theta+\cos\theta\sin\theta\right]\,d\theta =I_1+I_2=\frac{4}{3}+0=\frac{4}{3}.
Dica rápida para a prova: quando vir potências ímpares de \sin\theta ou \cos\theta, tente isolar um fator \sin\theta ou \cos\theta e usar a identidade \sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta (ou o contrário) para aplicar u=\cos\theta ou u=\sin\theta. E sempre verifique limites ao fazer substituição.

Resposta

\dfrac{4}{3}

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