( 2,0 pontos) Determine o valor de x para o qual a função y abaixo é máxima:
y=\left(a x^{3}+b x^{2}\right) e^{-x}, \text { para a região } x>0 ; \text { onde } a \text { e } b \text { são constantes } \neq 0ãã

Passo 1

O enunciado pede: determinar o valor de x (com x>0) para o qual a função
y=\left(a x^{3}+b x^{2}\right) e^{-x}
é máxima, sabendo que a e b são constantes \neq 0.
Informações dadas:
y=\left(a x^{3}+b x^{2}\right) e^{-x},\qquad x>0,\qquad a\neq0,\; b\neq0.
O que devemos encontrar: o(s) ponto(s) x>0 em que y atinge máximo (máximo local ou global em x>0).

Passo 2

Vamos achar os pontos críticos calculando a derivada primeira y' e igualando-a a zero. Usamos a regra do produto e a derivada de e^{-x}.
A derivada usando produto: se y=u(x)v(x) com u(x)=a x^3+b x^2 e v(x)=e^{-x}, então
y' = u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Calcule u'(x) e v'(x):
u'(x)=3a x^2+2b x,\qquad v'(x)=-e^{-x}.
Logo
y'=(3a x^2+2b x)e^{-x} + (a x^3+b x^2)(-e^{-x}).
Fatorando e^{-x} obtemos
y' = e^{-x}\bigl(-a x^3 + (3a-b)x^2 + 2b x\bigr).

Passo 3

Como e^{-x}>0 para todo x, a condição y'=0 é equivalente a
-a x^3 + (3a-b)x^2 + 2b x = 0.
Fatorando x (lembrando que x>0 então a solução x=0 não nos interessa),
x\bigl(-a x^2 + (3a-b)x + 2b\bigr)=0.
Portanto os candidatos são as raízes da quadrática
-a x^2 + (3a-b)x + 2b = 0.
Multiplicando por -1 para ficar na forma usual:
a x^2 - (3a-b)x - 2b = 0.

Passo 4

Aplicamos a fórmula de Bhaskara para a equação
a x^2 - (3a-b)x - 2b = 0.
O discriminante é
\Delta = \bigl(3a-b\bigr)^2 + 8ab = 9a^2+2ab+b^2.
As raízes são
x = \frac{3a-b \pm \sqrt{9a^2+2ab+b^2}}{2a}.
Essas são as soluções críticas (além de x=0, que descartamos porque queremos x>0).

Passo 5

Agora precisamos decidir qual(es) dessas raízes correspondem a máximo (em x>0). Em pontos críticos x=r temos y''(r) determinando se é máximo (quando y''(r)<0) ou mínimo (quando y''(r)>0). Em vez de calcular y'' completamente, usamos um truque: escrevemos y' = e^{-x} p(x) com
p(x) = -a x^3 + (3a-b)x^2 + 2b x.
Então y''(x)=e^{-x}\bigl(p'(x)-p(x)\bigr). Em um ponto crítico r temos p(r)=0, logo
y''(r)=e^{-r} p'(r).
Assim o sinal de y''(r) é o mesmo do sinal de p'(r) (pois e^{-r}>0).
Calcule p'(x):
p'(x)=-3a x^2 + (6a-2b)x + 2b.
Usando a equação que r satisfaz (a quadrática obtida no Passo 3),
0 = -a r^2 + (3a-b)r + 2b,
podemos eliminar termos e obter uma expressão simples para p'(r). Multiplicando essa igualdade por 3 e subtraindo de p'(r)
p'(r) = -\bigl(a r^2 + 2b\bigr).
(Verifique expandindo; é uma simplificação direta ao usar a relação da raiz.)
Portanto, em um ponto crítico r vale
y''(r) = e^{-r} p'(r) = -e^{-r}\bigl(a r^2 + 2b\bigr).

Passo 6

Conclusão sobre máximo/minimo em r:
  • Se a r^2 + 2b > 0 então p'(r)<0 e y''(r)<0: r é ponto de máximo local.
  • Se a r^2 + 2b < 0 então p'(r)>0 e y''(r)>0: r é ponto de mínimo local.
Como \displaystyle\lim_{x\to0^+}y=0 e \displaystyle\lim_{x\to+\infty}y=0, qualquer máximo local positivo será também o máximo global em x>0 se produzir valor de y maior que os valores próximos às extremidades (na prática, o máximo local positivo será o máximo global porque a função sai de 0, sobe até o máximo e depois decai para 0).

Passo 7

Portanto o(s) candidato(s) a máximo são as raízes positivas da quadrática
-a x^2 + (3a-b)x + 2b = 0,
ou seja
x = \frac{3a-b \pm \sqrt{9a^2+2ab+b^2}}{2a},
devendo escolher entre essas raízes a(s) que satisfaz(em)
a x^2 + 2b > 0.
Observações práticas:
  • Se apenas uma das raízes for positiva, essa é a candidata e, se satisfizer a x^2+2b>0, é o ponto de máximo em x>0.
  • Se houver duas raízes positivas, a que torna a x^2+2b>0 é a de máximo; tipicamente, quando a>0 a maior das duas raízes é o máximo local (e global em x>0), enquanto quando a<0 a menor das duas raízes será o máximo (a verificação através de a x^2+2b>0 confirma).

Resposta

x=\frac{3a-b \pm \sqrt{9a^{2}+2ab+b^{2}}}{2a},
sendo o valor que realmente dá o máximo (entre as raízes positivas) aquele que satisfaz
a x^{2}+2b>0.

Exercícios relacionados