( 2,0 pontos) Determine o valor de x para o qual a função y abaixo é máxima:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o valor de
(com
) para o qual a função
é máxima, sabendo que
e
são constantes
.
Informações dadas:
O que devemos encontrar: o(s) ponto(s)
em que
atinge máximo (máximo local ou global em
).
Passo 2
Vamos achar os pontos críticos calculando a derivada primeira
e igualando-a a zero. Usamos a regra do produto e a derivada de
.
A derivada usando produto: se
com
e
, então
Calcule
e
:
Logo
Fatorando
obtemos
Passo 3
Como
para todo
, a condição
é equivalente a
Fatorando
(lembrando que
então a solução
não nos interessa),
Portanto os candidatos são as raízes da quadrática
Multiplicando por
para ficar na forma usual:
Passo 4
Aplicamos a fórmula de Bhaskara para a equação
O discriminante é
As raízes são
Essas são as soluções críticas (além de
, que descartamos porque queremos
).
Passo 5
Agora precisamos decidir qual(es) dessas raízes correspondem a máximo (em
). Em pontos críticos
temos
determinando se é máximo (quando
) ou mínimo (quando
). Em vez de calcular
completamente, usamos um truque: escrevemos
com
Então
. Em um ponto crítico
temos
, logo
Assim o sinal de
é o mesmo do sinal de
(pois
).
Calcule
:
Usando a equação que
satisfaz (a quadrática obtida no Passo 3),
podemos eliminar termos e obter uma expressão simples para
. Multiplicando essa igualdade por
e subtraindo de
dá
(Verifique expandindo; é uma simplificação direta ao usar a relação da raiz.)
Portanto, em um ponto crítico
vale
Passo 6
Conclusão sobre máximo/minimo em
:
- Se
então e : é ponto de máximo local. - Se
então e : é ponto de mínimo local.
Como
e
, qualquer máximo local positivo será também o máximo global em
se produzir valor de
maior que os valores próximos às extremidades (na prática, o máximo local positivo será o máximo global porque a função sai de
, sobe até o máximo e depois decai para
).
Passo 7
Portanto o(s) candidato(s) a máximo são as raízes positivas da quadrática
ou seja
devendo escolher entre essas raízes a(s) que satisfaz(em)
Observações práticas:
- Se apenas uma das raízes for positiva, essa é a candidata e, se satisfizer
, é o ponto de máximo em . - Se houver duas raízes positivas, a que torna
é a de máximo; tipicamente, quando a maior das duas raízes é o máximo local (e global em ), enquanto quando a menor das duas raízes será o máximo (a verificação através de confirma).
Resposta
sendo o valor que realmente dá o máximo (entre as raízes positivas) aquele que satisfaz