Calcule as seguintes integrais
\int_{0}^{\pi} \sin ^{4}(3 t) d t

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int_{0}^{\pi} \sin^{4}(3t)\,dt.
Informações dadas: o integrando é \sin^{4}(3t) e os limites de integração são t=0 até t=\pi.

Passo 2

Primeiro passo prático: fazer uma troca de variável para eliminar o coeficiente 3 dentro do seno. Tome
u = 3t.
Então du = 3\,dt e dt = \dfrac{du}{3}. Os limites em u tornam-se: quando t=0 tem u=0; quando t=\pi tem u=3\pi. Assim a integral vira
\int_{0}^{\pi} \sin^{4}(3t)\,dt = \frac{1}{3}\int_{0}^{3\pi} \sin^{4}u\,du.
Aqui expliquei: o fator \tfrac{1}{3} aparece por causa do dt=\tfrac{du}{3}.

Passo 3

Para integrar \sin^{4}u usamos uma identidade de redução de potência. Vou derivá-la passo a passo (para você aprender e poder usar em prova):
Sabemos que
\sin^{2}x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}.
Agora elevamos ao quadrado para obter \sin^{4}x:
\sin^{4}x = (\sin^{2}x)^{2} = \left(\frac{1 - \cos(2x)}{2}\right)^{2} = \frac{1 - 2\cos(2x) + \cos^{2}(2x)}{4}.
Ainda temos \cos^{2}(2x) = \dfrac{1 + \cos(4x)}{2}. Substituindo isso:
\sin^{4}x = \frac{1 - 2\cos(2x) + \dfrac{1 + \cos(4x)}{2}}{4} = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x).
Em forma única:
\sin^{4}x = \frac{3 - 4\cos(2x) + \cos(4x)}{8}.

Passo 4

Aplicando essa identidade com x=u dentro da integral, obtemos
\int_{0}^{3\pi} \sin^{4}u\,du = \int_{0}^{3\pi} \left(\frac{3 - 4\cos(2u) + \cos(4u)}{8}\right) du = \frac{1}{8}\int_{0}^{3\pi} \bigl(3 - 4\cos(2u) + \cos(4u)\bigr)\,du.

Passo 5

Integramos termo a termo. Antiderivadas úteis:
\int 3\,du = 3u,\qquad \int \cos(2u)\,du = \frac{1}{2}\sin(2u),\qquad \int \cos(4u)\,du = \frac{1}{4}\sin(4u).
Avaliação nos limites 0 a 3\pi:
\int_{0}^{3\pi} 3\,du = 3\cdot 3\pi = 9\pi,
\int_{0}^{3\pi} \cos(2u)\,du = \left.\frac{1}{2}\sin(2u)\right|_{0}^{3\pi} = \frac{1}{2}\bigl(\sin(6\pi)-\sin 0\bigr)=0,
\int_{0}^{3\pi} \cos(4u)\,du = \left.\frac{1}{4}\sin(4u)\right|_{0}^{3\pi} = \frac{1}{4}\bigl(\sin(12\pi)-\sin 0\bigr)=0.
Portanto
\int_{0}^{3\pi} \sin^{4}u\,du = \frac{1}{8}\cdot 9\pi = \frac{9\pi}{8}.
Voltando ao t com o fator \tfrac{1}{3} que apareceu na substituição,
\int_{0}^{\pi} \sin^{4}(3t)\,dt = \frac{1}{3}\cdot \frac{9\pi}{8} = \frac{9\pi}{24} = \frac{3\pi}{8}.

Resposta

\dfrac{3\pi}{8}

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