Calcule as seguintes integrais
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações dadas: o integrando é
e os limites de integração são
até
.
Passo 2
Primeiro passo prático: fazer uma troca de variável para eliminar o coeficiente
dentro do seno. Tome
Então
e
. Os limites em
tornam-se: quando
tem
; quando
tem
. Assim a integral vira
Aqui expliquei: o fator
aparece por causa do
.
Passo 3
Para integrar
usamos uma identidade de redução de potência. Vou derivá-la passo a passo (para você aprender e poder usar em prova):
Sabemos que
Agora elevamos ao quadrado para obter
:
Ainda temos
. Substituindo isso:
Em forma única:
Passo 4
Aplicando essa identidade com
dentro da integral, obtemos
Passo 5
Integramos termo a termo. Antiderivadas úteis:
Avaliação nos limites
a
:
Portanto
Voltando ao
com o fator
que apareceu na substituição,