Dados \operatorname{sen} x=1 / 3 e \cos y=2 / 3 \operatorname{com} \pi / 2<x<\pi e 0<y<\pi / 2, identifique o valor de \cos (x-y).
\bigcirc a. \quad \frac{\sqrt{5}-4 \sqrt{2}}{9}
\bigcirc b. Nenhuma das outras opções.
\bigcirc C. \frac{2(1-\sqrt{10})}{9}
\bigcirc d. \frac{2(1+\sqrt{10})}{9}
\bigcirc e. -\frac{4 \sqrt{2}+\sqrt{5}}{9}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte. Informações: \operatorname{sen} x=\dfrac{1}{3}, \cos y=\dfrac{2}{3}, \dfrac{\pi}{2}<x<\pi e 0<y<\dfrac{\pi}{2}. Pergunta: identificar o valor de \cos(x-y) entre as alternativas dadas.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica para o cosseno da diferença de ângulos:
\cos(a-b)=\cos a\cos b+\operatorname{sen} a\operatorname{sen} b
Aqui a=x e b=y. Essa fórmula diz que para achar \cos(x-y) precisamos dos valores de \cos x, \cos y, \operatorname{sen} x e \operatorname{sen} y. Já conhecemos \operatorname{sen} x e \cos y, então vamos obter \cos x e \operatorname{sen} y usando a identidade pitagórica.

Passo 3

A identidade pitagórica é \operatorname{sen}^2 t+\cos^2 t=1 para qualquer ângulo t. Aplicando em x:
\operatorname{sen}^2 x=\left(\dfrac{1}{3}\right)^2=\dfrac{1}{9},
então
\cos^2 x=1-\dfrac{1}{9}=\dfrac{8}{9}.
Logo \cos x=\pm\sqrt{\dfrac{8}{9}}=\pm\dfrac{2\sqrt{2}}{3}. Para escolher o sinal, usamos a informação do quadrante: como \dfrac{\pi}{2}<x<\pi (quadrante II), o cosseno é negativo. Portanto
\cos x=-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}.

Passo 4

Agora para y: sabemos \cos y=\dfrac{2}{3}. Então
\cos^2 y=\left(\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{4}{9},
portanto
\operatorname{sen}^2 y=1-\dfrac{4}{9}=\dfrac{5}{9},
e
\operatorname{sen} y=\pm\sqrt{\dfrac{5}{9}}=\pm\dfrac{\sqrt{5}}{3}.
Como 0<y<\dfrac{\pi}{2} (quadrante I), o seno é positivo. Assim
\operatorname{sen} y=\dfrac{\sqrt{5}}{3}.

Passo 5

Agora substituímos na identidade do Passo 2:
\cos(x-y)=\cos x\cos y+\operatorname{sen} x\operatorname{sen} y.
Usando os valores \cos x=-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}, \cos y=\dfrac{2}{3}, \operatorname{sen} x=\dfrac{1}{3} e \operatorname{sen} y=\dfrac{\sqrt{5}}{3}, calculamos termo a termo:
\cos x\cos y=\left(-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\right)\left(\dfrac{2}{3}\right)=-\dfrac{4\sqrt{2}}{9},
\operatorname{sen} x\operatorname{sen} y=\left(\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{\sqrt{5}}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{5}}{9}.
Somando,
\cos(x-y)=-\dfrac{4\sqrt{2}}{9}+\dfrac{\sqrt{5}}{9}=\dfrac{\sqrt{5}-4\sqrt{2}}{9}.

Passo 6

Comparamos com as alternativas: a alternativa (a) é \dfrac{\sqrt{5}-4\sqrt{2}}{9}, que coincide com o resultado obtido. Portanto a alternativa correta é a (a). Força aí, você já matou a questão!

Resposta

(a) \dfrac{\sqrt{5}-4\sqrt{2}}{9}

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