Dois lados de um triângulo medem 10 e 30. O ângulo entre estes lados mede 60^{\circ}. O comprimento do terceiro lado do triângulo é:
\bigcirc a. 10 \sqrt{7}
\bigcirc b. Nenhuma das outras opções.
\bigcirc c. 10 \sqrt{13}
\bigcirc d. 10 \sqrt{10-3 \sqrt{3}}
\bigcirc e. 10 \sqrt{10+3 \sqrt{3}}

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do terceiro lado de um triângulo quando nos dão as seguintes informações:
  • Dois lados medem 10 e 30.
  • O ângulo entre esses dois lados mede 60^\circ.
    A pergunta é: qual é o comprimento do terceiro lado desse triângulo? (Temos também as opções de resposta listadas no enunciado.)

Passo 2

Vamos usar uma fórmula que relaciona os três lados de um triângulo com o ângulo formado por dois deles. A fórmula é a lei dos cossenos:
c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab\cos C.
Aqui:
  • a e b são os comprimentos dos lados que formam o ângulo C.
  • c é o comprimento do lado oposto ao ângulo C.
    Essa fórmula é uma generalização do Teorema de Pitágoras: quando C=90^\circ temos \cos C=0 e a lei dos cossenos vira exatamente o Pitágoras. Intuitivamente, a lei dos cossenos aparece se você projetar um dos lados sobre a direção do outro e escrever a soma das componentes quadráticas — mas não precisamos fazer essa derivação aqui inteira; o importante é saber usar a fórmula corretamente.

Passo 3

Identificamos as variáveis com os dados do problema:
  • a = 10,
  • b = 30,
  • C = 60^\circ.
    Substituindo na lei dos cossenos:
c^{2} = 10^{2} + 30^{2} - 2\cdot 10\cdot 30\cdot \cos 60^\circ.

Passo 4

Calculemos passo a passo os termos:
10^{2} = 100,
30^{2} = 900,
então
10^{2}+30^{2} = 100 + 900 = 1000.
Além disso, sabemos que
\cos 60^\circ = \tfrac{1}{2},
portanto
2\cdot 10\cdot 30\cdot \cos 60^\circ = 2\cdot 10\cdot 30\cdot \tfrac{1}{2} = 10\cdot 30 = 300.

Passo 5

Substituindo os valores obtidos em c^{2}:
c^{2} = 1000 - 300 = 700.
Tomando raiz quadrada (comprimento é positivo):
c = \sqrt{700} = \sqrt{100\cdot 7} = 10\sqrt{7}.

Passo 6

Agora comparamos com as opções do enunciado: a opção (a) é 10\sqrt{7}, que coincide com o resultado encontrado. Então a resposta correta é a alternativa (a).

Resposta

(a) 10\sqrt{7}

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