Dois lados de um triângulo medem 10 e 30. O ângulo entre estes lados mede
. O comprimento do terceiro lado do triângulo é:
a.
b. Nenhuma das outras opções.
c.
d.
e.
Passo 1
O enunciado pede o comprimento do terceiro lado de um triângulo quando nos dão as seguintes informações:
- Dois lados medem
e . - O ângulo entre esses dois lados mede
.
A pergunta é: qual é o comprimento do terceiro lado desse triângulo? (Temos também as opções de resposta listadas no enunciado.)
Passo 2
Vamos usar uma fórmula que relaciona os três lados de um triângulo com o ângulo formado por dois deles. A fórmula é a lei dos cossenos:
Aqui:
-
e são os comprimentos dos lados que formam o ângulo . -
é o comprimento do lado oposto ao ângulo .
Essa fórmula é uma generalização do Teorema de Pitágoras: quandotemos e a lei dos cossenos vira exatamente o Pitágoras. Intuitivamente, a lei dos cossenos aparece se você projetar um dos lados sobre a direção do outro e escrever a soma das componentes quadráticas — mas não precisamos fazer essa derivação aqui inteira; o importante é saber usar a fórmula corretamente.
Passo 3
Identificamos as variáveis com os dados do problema:
-
, -
, -
.
Substituindo na lei dos cossenos:
Passo 4
Calculemos passo a passo os termos:
então
Além disso, sabemos que
portanto
Passo 5
Substituindo os valores obtidos em
:
Tomando raiz quadrada (comprimento é positivo):
Passo 6
Agora comparamos com as opções do enunciado: a opção (a) é
, que coincide com o resultado encontrado. Então a resposta correta é a alternativa (a).
Resposta
(a)