Determina o valor de a e b de modo que sejam equivalentes as expressões \frac{a}{x-2}-\frac{b}{x} e \frac{2 x+4}{x(x-2)}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar constantes a e b tais que
\frac{a}{x-2}-\frac{b}{x}
seja equivalente a
\frac{2x+4}{x(x-2)}.
O conteúdo aqui é decomposição em frações parciais: devemos reunir as duas frações num denominador comum e igualar o numerador ao dado.

Passo 2

Reunimos as frações em um único denominador x(x-2). Temos:
\frac{a}{x-2}-\frac{b}{x} =\frac{a\cdot x - b\cdot (x-2)}{x(x-2)}.

Passo 3

Expandindo o numerador:
a\cdot x - b\cdot (x-2) = a x - b x + 2b = (a - b)\,x + 2b.
Logo
\frac{a}{x-2}-\frac{b}{x} =\frac{(a - b)\,x + 2b}{x(x-2)}.

Passo 4

Para que isso seja igual a \frac{2x+4}{x(x-2)}, precisamos ter
(a - b)\,x + 2b = 2x + 4.
Comparando coeficientes:
a - b = 2, \quad 2b = 4 \;\Rightarrow\; b = 2,
a = 2 + b = 2 + 2 = 4.

Resposta

a = 4 e b = 2.

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