Questĩo 5 Um projeto ambiental prevê a construção de um reservatório de água de base retangular com volume de 5000 \mathrm{~m}^{3}. A profundidade deve ser no máximo 4 metros por normas ambientais. O custo de impernmeabilização do fundo é RS 40 / \mathrm{m}^{2} e das laterais verticais é RS 20 / \mathrm{m}^{2}.
a) Determine as dimensòcs que minimizam o custo total de impermeabilizaçäo.
b) Qual será esse custo minimo? Sugestão: Consulte problemas envolvendo custo e otimização no livro Stewart. Este problema exige uso de substituição com restrição.

Passo 1

O enunciado pede um reservat\u00f3rio retangular de volume 5000,m ^3 e altura (profundidade) h sujeita a h\le4,m. O custo de impermeabiliza\u00e7\u00e3o do fundo \u00e9 de R$ 40/m ^2 e das quatro paredes verticais \u00e9 de R$ 20/m ^2. Vamos usar otimiza\u00e7\u00e3o com restri\u00e7\u00e3o (substitui\u00e7\u00e3o via V=xyz) para minimizar o custo total.

Passo 2

Seja x o comprimento, y a largura e h a altura. A restrição de volume é
xyz = 5000\quad\Longrightarrow\quad xy = \frac{5000}{h}.

Passo 3

A área do fundo é A_{\text{fundo}}=xy e a área total das paredes é
A_{\text{paredes}} = 2(xh) + 2(yh).
Logo, o custo total é
C = 40\,(xy) + 20\,[2(xh)+2(yh)] = 40\,xy + 40\,(xh + yh).

Passo 4

Substituindo xy=5000/h e y=5000/(xh) em C, obtemos
C(x,h) = 40\frac{5000}{h} + 40\Bigl(xh + \frac{5000}{x}\Bigr) = \frac{200000}{h} + 40xh + \frac{200000}{x}.

Passo 5

Para cada h fixo, minimizamos em x impondo \partial C/\partial x=0:
40h - \frac{200000}{x^2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 = \frac{200000}{40h} = \frac{5000}{h} \quad\Longrightarrow\quad x = y = \sqrt{\frac{5000}{h}}.

Passo 6

Assim o reservat\u00f3rio \u00e9 de base quadrada ( x=y). Substituindo em xy=\frac{5000}{h} e voltando a C, obter\u00edamos uma fun\u00e7\u00e3o s\u00f3 de h. O \u00f3timo n\u00e3o restringido d\u00e1 h\approx 17,1,m, mas viola h\le4. Logo, o m\u00ednimo ocorre na fronteira h=4,m.

Passo 7

Com h=4,m, temos
x = y = \sqrt{\frac{5000}{4}} = \sqrt{1250} = 25\sqrt{2}\\ (\text{m}).

Passo 8

O custo mínimo é
C_{\min} = 40\,(xy) + 40\,(xh+yh) = 40\cdot1250 + 40\bigl(2\cdot25\sqrt2\cdot4\bigr) = 50000 + 40\,(200\sqrt2) = 50000 + 8000\sqrt2 \approx 61313{,}7\\ (\text{R\$}).

Resposta

a) x=y=25\sqrt{2}\,\mathrm{m}, h=4\,\mathrm{m}.
b) C_{\min}=50000 + 8000\sqrt{2}\approx\mathrm{R\$}\,61313{,}7.

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