Questĩo 5 Um projeto ambiental prevê a construção de um reservatório de água de base retangular com volume de
. A profundidade deve ser no máximo 4 metros por normas ambientais. O custo de impernmeabilização do fundo é RS
e das laterais verticais é RS
.
a) Determine as dimensòcs que minimizam o custo total de impermeabilizaçäo.
b) Qual será esse custo minimo? Sugestão: Consulte problemas envolvendo custo e otimização no livro Stewart. Este problema exige uso de substituição com restrição.
a) Determine as dimensòcs que minimizam o custo total de impermeabilizaçäo.
b) Qual será esse custo minimo? Sugestão: Consulte problemas envolvendo custo e otimização no livro Stewart. Este problema exige uso de substituição com restrição.
Passo 1
O enunciado pede um reservat\u00f3rio retangular de volume
,m
e altura (profundidade)
sujeita a
,m. O custo de impermeabiliza\u00e7\u00e3o do fundo \u00e9 de R$
/m
e das quatro paredes verticais \u00e9 de R$
/m
. Vamos usar otimiza\u00e7\u00e3o com restri\u00e7\u00e3o (substitui\u00e7\u00e3o via
) para minimizar o custo total.
Passo 2
Seja
o comprimento,
a largura e
a altura. A restrição de volume é
Passo 3
A área do fundo é
e a área total das paredes é
Logo, o custo total é
Passo 4
Substituindo
e
em
, obtemos
Passo 5
Para cada
fixo, minimizamos em
impondo
:
Passo 6
Assim o reservat\u00f3rio \u00e9 de base quadrada (
). Substituindo em
e voltando a
, obter\u00edamos uma fun\u00e7\u00e3o s\u00f3 de
. O \u00f3timo n\u00e3o restringido d\u00e1
,m, mas viola
. Logo, o m\u00ednimo ocorre na fronteira
,m.
Passo 7
Com
,m, temos
Passo 8
O custo mínimo é
Resposta
a)
,
b)
b)