Calcule as seguintes integrais:
\int x^{2} \cos (m x) d x
\int x^{2} \cos (m x) d x
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
.
Informações dadas: a variável de integração é e
é um parâmetro constante (pode ser positivo, negativo ou zero).
Pergunta clara: obter uma primitiva de , isto é, uma expressão
tal que
.
Informações dadas: a variável de integração é
Pergunta clara: obter uma primitiva de
Passo 2
Qual método usar e por quê: temos um produto entre um polinômio
e uma função trigonométrica
. Um método padrão e eficiente para isso é a integração por partes, possivelmente aplicada repetidas vezes. Integração por partes funciona bem quando um fator simplifica ao derivar (aqui
vira
e depois
) e o outro fator tem primitiva conhecida (aqui
tem primitiva
se
).
Passo 3
Fórmula da integração por partes (a “fórmula mágica”): para funções
e
,
Aqui
é a parte que derivamos (ficando mais simples) e
é a parte que integrarmos. Vou aplicar essa fórmula duas vezes.
Passo 4
Primeira aplicação de integração por partes. Escolho
Então
Aplicando a fórmula,
Fatorando constantes:
Passo 5
Segunda aplicação de integração por partes para
. Escolho
portanto
Aplicando a fórmula:
Simplificando o sinal:
E como
,
Passo 6
Volto para a expressão do Passo 4 e substituo o resultado do Passo 5:
Distribuo o
:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Organizando os termos (agrupando os senos):
Esse é um formato prático para memorizar ou usar na prova.
Passo 8
Caso especial
: nesse caso
e a integral reduz a
A fórmula obtida nos passos anteriores usa divisões por
, então não é válida quando
; por isso a necessidade deste caso separado.
Passo 9
Cheque rápido (opcional, mas útil para confiar no resultado): derivando a primitiva encontrada (para
) obtém-se
— as derivadas dos termos se cancelam corretamente e reproduzem o integrando, confirmando a primitivação.