Calcule as seguintes integrais:

\int x^{2} \cos (m x) d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida \displaystyle \int x^{2}\cos(mx)\,dx.
Informações dadas: a variável de integração é x e m é um parâmetro constante (pode ser positivo, negativo ou zero).
Pergunta clara: obter uma primitiva de x^{2}\cos(mx), isto é, uma expressão F(x) tal que F'(x)=x^{2}\cos(mx).

Passo 2

Qual método usar e por quê: temos um produto entre um polinômio x^{2} e uma função trigonométrica \cos(mx). Um método padrão e eficiente para isso é a integração por partes, possivelmente aplicada repetidas vezes. Integração por partes funciona bem quando um fator simplifica ao derivar (aqui x^{2} vira 2x e depois 1) e o outro fator tem primitiva conhecida (aqui \cos(mx) tem primitiva \frac{1}{m}\sin(mx) se m\neq0).

Passo 3

Fórmula da integração por partes (a “fórmula mágica”): para funções u(x) e v(x),
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui u é a parte que derivamos (ficando mais simples) e dv é a parte que integrarmos. Vou aplicar essa fórmula duas vezes.

Passo 4

Primeira aplicação de integração por partes. Escolho
u = x^{2},\qquad dv = \cos(mx)\,dx.
Então
du = 2x\,dx,\qquad v = \int \cos(mx)\,dx = \frac{1}{m}\sin(mx)\quad(\text{válido se }m\neq0).á
Aplicando a fórmula,
\int x^{2}\cos(mx)\,dx = u v - \int v\,du = \frac{x^{2}}{m}\sin(mx) - \int \frac{1}{m}\sin(mx)\cdot 2x\,dx.
Fatorando constantes:
\int x^{2}\cos(mx)\,dx = \frac{x^{2}}{m}\sin(mx) - \frac{2}{m}\int x\sin(mx)\,dx.

Passo 5

Segunda aplicação de integração por partes para \displaystyle \int x\sin(mx)\,dx. Escolho
u = x,\qquad dv = \sin(mx)\,dx,
portanto
du = dx,\qquad v = \int \sin(mx)\,dx = -\frac{1}{m}\cos(mx)\quad(\text{se }m\neq0).
Aplicando a fórmula:
\int x\sin(mx)\,dx = u v - \int v\,du = -\frac{x}{m}\cos(mx) - \int \left(-\frac{1}{m}\cos(mx)\right)\,dx.
Simplificando o sinal:
\int x\sin(mx)\,dx = -\frac{x}{m}\cos(mx) + \frac{1}{m}\int \cos(mx)\,dx.
E como \displaystyle \int \cos(mx)\,dx = \frac{1}{m}\sin(mx),
\int x\sin(mx)\,dx = -\frac{x}{m}\cos(mx) + \frac{1}{m^{2}}\sin(mx).

Passo 6

Volto para a expressão do Passo 4 e substituo o resultado do Passo 5:
\int x^{2}\cos(mx)\,dx = \frac{x^{2}}{m}\sin(mx) - \frac{2}{m}\left(-\frac{x}{m}\cos(mx) + \frac{1}{m^{2}}\sin(mx)\right).
Distribuo o -\dfrac{2}{m}:
\int x^{2}\cos(mx)\,dx = \frac{x^{2}}{m}\sin(mx) + \frac{2x}{m^{2}}\cos(mx) - \frac{2}{m^{3}}\sin(mx) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Organizando os termos (agrupando os senos):
\int x^{2}\cos(mx)\,dx = \left(\frac{x^{2}}{m}-\frac{2}{m^{3}}\right)\sin(mx) + \frac{2x}{m^{2}}\cos(mx) + C,\qquad (m\neq0).
Esse é um formato prático para memorizar ou usar na prova.

Passo 8

Caso especial m=0: nesse caso \cos(mx)=\cos(0)=1 e a integral reduz a
\int x^{2}\cos(0)\,dx = \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3} + C.
A fórmula obtida nos passos anteriores usa divisões por m, então não é válida quando m=0; por isso a necessidade deste caso separado.

Passo 9

Cheque rápido (opcional, mas útil para confiar no resultado): derivando a primitiva encontrada (para m\neq0) obtém-se x^{2}\cos(mx) — as derivadas dos termos se cancelam corretamente e reproduzem o integrando, confirmando a primitivação.

Resposta

\displaystyle \int x^{2}\cos(mx)\,dx = \left(\frac{x^{2}}{m}-\frac{2}{m^{3}}\right)\sin(mx)+\frac{2x}{m^{2}}\cos(mx)+C\quad (m\neq0)
\displaystyle \int x^{2}\cos(0\cdot x)\,dx = \frac{x^{3}}{3}+C\quad (m=0)

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