Determine o volume do sólido limitado por z=9-x^{2}, z=5-y, y=0 \mathrm{e} y=5.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelas superfícies
z = 9 - x^2,\quad z = 5 - y,\quad y = 0,\quad y = 5.
O conteúdo é cálculo de volume por integração dupla: vamos projetar o sólido no plano xy, encontrar qual superfície está em cima e qual está embaixo, determinar o domínio de integração e, por fim, calcular a integral do “topo menos o piso”.

Passo 2

Para saber qual superfície é o topo, igualamos
9 - x^2 = 5 - y
e obtemos
y = x^2 - 4.
A região existe onde o “topo” z = 9 - x^2 fica acima do “piso” z = 5 - y, isto é,
9 - x^2 \ge 5 - y \quad\Longleftrightarrow\quad y \ge x^2 - 4.
Além disso, y deve ficar entre 0 e 5. Logo, no plano xy a projeção é
0 \le y \le 5,\quad x^2 \le y + 4.

Passo 3

Para um valor fixo de y, a condição x^2 \le y + 4
-\sqrt{y+4} \;\le\; x \;\le\; \sqrt{y+4}.
Portanto, o volume é
V = \iint_{\text{proj}} \bigl[(9 - x^2) - (5 - y)\bigr]\,dx\,dy = \int_{y=0}^{5}\!\int_{x=-\sqrt{y+4}}^{\sqrt{y+4}}\!\bigl(4 + y - x^2\bigr)\,dx\,dy.

Passo 4

Calculemos primeiro a integral em x. Seja a = \sqrt{y+4}. Então
\int_{-a}^{a} (4 + y - x^2)\,dx = \int_{-a}^{a}(4+y)\,dx \;-\;\int_{-a}^{a}x^2\,dx = 2a(4+y)\;-\;\tfrac{2}{3}a^3 = \tfrac{4}{3}\,(y+4)^{3/2}.
Logo
V = \int_{0}^{5} \frac{4}{3}\,(y+4)^{3/2}\,dy.

Passo 5

Fazendo a mudança de variável t = y+4, quando y=0 temos t=4 e quando y=5 temos t=9. Assim
V = \frac{4}{3}\int_{4}^{9} t^{3/2}\,dt = \frac{4}{3}\;\cdot\;\frac{2}{5}\,\Bigl[t^{5/2}\Bigr]_{4}^{9} = \frac{8}{15}\bigl(9^{5/2} - 4^{5/2}\bigr) = \frac{8}{15}\bigl(243 - 32\bigr) = \frac{1688}{15}.

Resposta

V = \frac{1688}{15}.

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