Determine o volume do sólido limitado por
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado pelas superfícies
O conteúdo é cálculo de volume por integração dupla: vamos projetar o sólido no plano
, encontrar qual superfície está em cima e qual está embaixo, determinar o domínio de integração e, por fim, calcular a integral do “topo menos o piso”.
Passo 2
Para saber qual superfície é o topo, igualamos
e obtemos
A região existe onde o “topo”
fica acima do “piso”
, isto é,
Além disso,
deve ficar entre
e
. Logo, no plano
a projeção é
Passo 3
Para um valor fixo de
, a condição
dá
Portanto, o volume é
Passo 4
Calculemos primeiro a integral em
. Seja
. Então
Logo
Passo 5
Fazendo a mudança de variável
, quando
temos
e quando
temos
. Assim