Considere a função f(x)=\frac{4}{x^{2}-4}, definida para todo x \neq \pm 2.
(a) Determine o conjunto dos pontos x onde
(i) f(x)>0
(ii) f(x)<0
(b) Analise o comportamento de f(x) quando
(i) x \rightarrow \pm \infty
(ii) x \rightarrow 2^{+}
(iii) x \rightarrow 2^{-}
(c) Determine o conjunto \operatorname{Im}(f).
(d) Dê um esboço detalhado do gráfico de f, destacando suas retas assíntotas.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{4}{x^{2}-4},
com domínio \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq\pm2\}, e pede:
– (a) onde f(x) é positiva ou negativa (análise de sinal de uma fração);
– (b) limites em infinito e em x\to2^{\pm} (identificar assíntotas horizontais e verticais);
– (c) imagem de f (resolver y=4/(x^2-4));
– (d) esboço do gráfico com suas retas assíntotas.

Passo 2

Análise de sinal. O numerador 4 é sempre positivo. O sinal de f(x) vem de x^2-4:
– Se |x|>2, então x^2-4>0, logo f(x)>0.
– Se -2<x<2, então x^2-4<0, logo f(x)<0.
Assim,
f(x)>0\quad\text{para }x\in(-\infty,-2)\cup(2,\infty),
f(x)<0\quad\text{para }x\in(-2,2).

Passo 3

Limites e assíntotas.
(i) Como \lim_{x\to\pm\infty}\frac{4}{x^{2}-4}=0, a reta y=0 é assíntota horizontal.
(ii) Para x\to2^{+}, o denominador x^{2}-4\to0^{+}, logo f(x)\to+\infty.
(iii) Para x\to2^{-}, o denominador x^{2}-4\to0^{-}, logo f(x)\to-\infty.
(Além disso, simetricamente em x=-2 há assíntota vertical com comportamentos +\infty e -\infty.)

Passo 4

Imagem de f. Seja y=\tfrac{4}{x^{2}-4}. Se y=0 não há solução. Se y\neq0,
x^{2}-4=\frac{4}{y}\quad\Longrightarrow\quad x^{2}=4+\frac{4}{y}.
Para existir x\in\mathbb{R} precisamos de
4+\frac{4}{y}\ge0.
Multiplicando por y:
  • Se y>0, obtém-se 4y+4\ge0 sempre verdadeiro.
  • Se y<0, obtém-se 4y+4\le0\iff y\le-1.
    Logo
\operatorname{Im}(f)=(-\infty,-1]\;\cup\;(0,\infty).

Passo 5

Esboço do gráfico.
– Retas assíntotas: verticais x=2 e x=-2, horizontal y=0.
– Para x>2: ramo em y>0 que cai de +\infty em x\to2^+ e se aproxima de 0^+ em x\to+\infty.
– Para x< -2: ramo simétrico em y>0 que cai de +\infty em x\to-2^- e vai a 0^+ em x\to-\infty.
– No intervalo (-2,2): ramo em y<0 que sobe de -\infty em x\to-2^+, atinge -1 em x=0, e volta a -\infty em x\to2^-.

Resposta

(a)(i) f(x)>0 para x\in(-\infty,-2)\cup(2,\infty).
(a)(ii) f(x)<0 para x\in(-2,2).
(b)(i) \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0.
(b)(ii) \lim_{x\to2^{+}}f(x)=+\infty.
(b)(iii) \lim_{x\to2^{-}}f(x)=-\infty.
(c) \displaystyle\operatorname{Im}(f)=(-\infty,-1]\cup(0,\infty).
(d) Assíntotas verticais x=\pm2, horizontal y=0. Ramo em x>2 e x<-2 em y>0, e ramo em -2<x<2 em y<0, com valor mínimo -1 em x=0.

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