Considere a função
, definida para todo
.
(a) Determine o conjunto dos pontos
onde
(i)
(ii)
(b) Analise o comportamento de
quando
(i)
(ii)
(iii)
(c) Determine o conjunto
.
(d) Dê um esboço detalhado do gráfico de
, destacando suas retas assíntotas.
(a) Determine o conjunto dos pontos
(i)
(ii)
(b) Analise o comportamento de
(i)
(ii)
(iii)
(c) Determine o conjunto
(d) Dê um esboço detalhado do gráfico de
Passo 1
O enunciado dá a função
com domínio
, e pede:
– (a) onde é positiva ou negativa (análise de sinal de uma fração);
– (b) limites em infinito e em (identificar assíntotas horizontais e verticais);
– (c) imagem de (resolver
);
– (d) esboço do gráfico com suas retas assíntotas.
– (a) onde
– (b) limites em infinito e em
– (c) imagem de
– (d) esboço do gráfico com suas retas assíntotas.
Passo 2
Análise de sinal. O numerador
é sempre positivo. O sinal de
vem de
:
– Se , então
, logo
.
– Se , então
, logo
.
Assim,
– Se
– Se
Assim,
Passo 3
Limites e assíntotas.
(i) Como , a reta
é assíntota horizontal.
(ii) Para , o denominador
, logo
.
(iii) Para , o denominador
, logo
.
(Além disso, simetricamente em há assíntota vertical com comportamentos
e
.)
(i) Como
(ii) Para
(iii) Para
(Além disso, simetricamente em
Passo 4
Imagem de
. Seja
. Se
não há solução. Se
,
Para existir
precisamos de
Multiplicando por
:
- Se
, obtém-se sempre verdadeiro. - Se
, obtém-se .
Logo
Passo 5
Esboço do gráfico.
– Retas assíntotas: verticais e
, horizontal
.
– Para : ramo em
que cai de
em
e se aproxima de
em
.
– Para : ramo simétrico em
que cai de
em
e vai a
em
.
– No intervalo : ramo em
que sobe de
em
, atinge
em
, e volta a
em
.
– Retas assíntotas: verticais
– Para
– Para
– No intervalo
Resposta
(a)(i)
para
.
(a)(ii) para
.
(a)(ii)
(b)(i)
.
(b)(ii) .
(b)(iii) .
(b)(ii)
(b)(iii)
(c)
.
(d) Assíntotas verticais
, horizontal
. Ramo em
e
em
, e ramo em
em
, com valor mínimo
em
.