Calcule as seguintes integrais, por integração por Partes:
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão pede! Temos três integrais para calcular usando integração por partes. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais, especificamente a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. Vamos precisar lembrar da fórmula da integração por partes:
Agora, vamos resolver cada integral passo a passo.
Passo 2
Primeira Integral:
Primeiro, identificamos as partes que vão ser
e
. Uma boa escolha aqui é:
-
(pois a derivada de é simples) -
Agora, calculamos
e
:
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Passo 3
Agora, temos uma nova integral:
. Vamos aplicar novamente a integração por partes nessa integral.
Escolhemos:
Calculando
e
:
Aplicando a fórmula:
Passo 4
Voltamos à integral original! Vamos substituir de volta:
Simplificando:
Agora, adicionamos
dos dois lados:
Dividindo por 2:
Passo 5
Agora, vamos para a segunda integral:
. Aqui, vamos usar a integração por partes também. A matéria é sobre integrais definidas e a técnica de integração por partes.
Passo 6
Identificamos
e
:
-
(porque a derivada de é simples) -
Calculamos
e
:
Aplicando a fórmula:
Passo 7
Agora, precisamos resolver
. Fazemos uma substituição:
Deixe
, então
, ou seja,
.
Substituindo na integral:
Passo 8
Voltamos à expressão anterior:
Como a integral é definida de 0 a 1, substituímos os limites:
Calculando em
:
Calculando em
:
Subtraindo:
Passo 9
Por último, vamos resolver a integral
. Aqui,
é uma constante, então podemos simplificar a integral antes de aplicar a técnica.
Passo 10
Primeiro, reconhecemos que
é constante e pode ser colocada fora da integral:
Agora, vamos resolver
. Para isso, faremos uma substituição.
Deixe
, então
e
.
Substituindo na integral:
Passo 11
Agora, precisamos resolver
usando integração por partes.
Escolhemos:
-
(aqui, o da substituição anterior) -
Calculando
e
:
Aplicando a fórmula:
Multiplicando por 2:
Passo 12
Voltando à variável original
:
E substituindo de volta na expressão inicial: