Calcule as seguintes integrais, por integração por Partes:
integral e^x cos x d x ; integral0^1 arctg x d x ; e^4 e^raizx d x

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão pede! Temos três integrais para calcular usando integração por partes. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais, especificamente a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. Vamos precisar lembrar da fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Agora, vamos resolver cada integral passo a passo.

Passo 2

Primeira Integral: integral e^x cos x , dx
Primeiro, identificamos as partes que vão ser u e dv. Uma boa escolha aqui é:
  • u = e^x (pois a derivada de e^x é simples)
  • dv = cos x , dx
Agora, calculamos du e v:
  • du = e^x , dx
  • v = integral cos x , dx = sin x
Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral e^x cos x , dx = e^x sin x - integral sin x cdot e^x , dx

Passo 3

Agora, temos uma nova integral: integral e^x sin x , dx. Vamos aplicar novamente a integração por partes nessa integral.
Escolhemos:
  • u = e^x
  • dv = sin x , dx
Calculando du e v:
  • du = e^x , dx
  • v = -cos x
Aplicando a fórmula:
integral e^x sin x , dx = -e^x cos x + integral e^x cos x , dx

Passo 4

Voltamos à integral original! Vamos substituir de volta:
integral e^x cos x , dx = e^x sin x - ( -e^x cos x + integral e^x cos x , dx )
Simplificando:
integral e^x cos x , dx = e^x sin x + e^x cos x - integral e^x cos x , dx
Agora, adicionamos integral e^x cos x , dx dos dois lados:
2 integral e^x cos x , dx = e^x (sin x + cos x)
Dividindo por 2:
integral e^x cos x , dx = e^x2 (sin x + cos x) + C

Passo 5

Agora, vamos para a segunda integral: integral0^1 arctan x , dx. Aqui, vamos usar a integração por partes também. A matéria é sobre integrais definidas e a técnica de integração por partes.

Passo 6

Identificamos u e dv:
  • u = arctan x (porque a derivada de arctan x é simples)
  • dv = dx
Calculamos du e v:
  • du = 11 + x^2 , dx
  • v = x
Aplicando a fórmula:
integral arctan x , dx = x cdot arctan x - integral x cdot 11 + x^2 , dx

Passo 7

Agora, precisamos resolver integral x1 + x^2 , dx. Fazemos uma substituição:
Deixe w = 1 + x^2, então dw = 2x , dx, ou seja, x , dx = dw2.
Substituindo na integral:
integral x1 + x^2 , dx = 12 integral 1w , dw = 12 ln |w| + C = 12 ln (1 + x^2) + C

Passo 8

Voltamos à expressão anterior:
integral arctan x , dx = x cdot arctan x - 12 ln (1 + x^2) + C
Como a integral é definida de 0 a 1, substituímos os limites:
integral0^1 arctan x , dx = [ x cdot arctan x - 12 ln (1 + x^2) ]0^1
Calculando em x = 1:
1 cdot arctan 1 - 12 ln (1 + 1^2) = pi4 - 12 ln 2
Calculando em x = 0:
0 cdot arctan 0 - 12 ln 1 = 0 - 0 = 0
Subtraindo:
pi4 - 12 ln 2

Passo 9

Por último, vamos resolver a integral integral e^4 e^raizx , dx. Aqui, e^4 é uma constante, então podemos simplificar a integral antes de aplicar a técnica.

Passo 10

Primeiro, reconhecemos que e^4 é constante e pode ser colocada fora da integral:
integral e^4 e^raizx , dx = e^4 integral e^raizx , dx
Agora, vamos resolver integral e^raizx , dx. Para isso, faremos uma substituição.
Deixe u = raizx, então x = u^2 e dx = 2u , du.
Substituindo na integral:
integral e^raizx , dx = integral e^u cdot 2u , du = 2 integral u e^u , du

Passo 11

Agora, precisamos resolver 2 integral u e^u , du usando integração por partes.
Escolhemos:
  • u = u (aqui, o u da substituição anterior)
  • dv = e^u , du
Calculando du e v:
  • du = du
  • v = e^u
Aplicando a fórmula:
integral u e^u , du = u e^u - integral e^u , du = u e^u - e^u + C = e^u (u - 1) + C
Multiplicando por 2:
2 integral u e^u , du = 2 e^u (u - 1) + C

Passo 12

Voltando à variável original u = raizx:
2 e^raizx (raizx - 1) + C
E substituindo de volta na expressão inicial:
integral e^4 e^raizx , dx = e^4 cdot ( 2 e^raizx (raizx - 1) ) + C = 2 e^4 e^raizx (raizx - 1) + C

Resposta

integral e^4 e^raizx , dx = 2 e^4 e^raizx (raizx - 1) + C

Exercícios relacionados