Calcule as seguintes integrais: integral 1x(x^2+4) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse problema está na área de Cálculo Integral, especificamente na técnica de frações parciais. Para resolver isso, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração 1x(x^2+4) = Ax + Bx + Cx^2+4 em frações parciais. A ideia aqui é escrever a fração original como a soma de duas frações cujo denominador seja e , respectivamente. Então, assumimos que:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de 1 = A(x^2 + 4) + (Bx + C)x , 1 = A x^2 + 4A + B x^2 + C x e 1 = (A + B) x^2 + C x + 4A . Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes dos dois lados da equação:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para o termo constante:
Resolvendo essas equações:
  • De , temos .
  • De , substituindo , temos , então .
  • Já sabemos que .

Passo 5

Agora que encontramos 1x(x^2+4) = 1/4x + (-1/4)xx^2+4 , 1x(x^2+4) = 14x - x4(x^2+4) e integral 1x(x^2+4) , dx = 14 integral 1x , dx - 14 integral xx^2+4 , dx , podemos reescrever a fração original:
14 ln|x| - 18 ln|x^2 + 4| + C
Simplificando:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
As integrais são:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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