Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse problema está na área de Cálculo Integral, especificamente na técnica de frações parciais. Para resolver isso, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração
em frações parciais. A ideia aqui é escrever a fração original como a soma de duas frações cujo denominador seja
e
, respectivamente. Então, assumimos que:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de
,
e
. Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Passo 4
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes dos dois lados da equação:
- Para
: - Para
: - Para o termo constante:
Resolvendo essas equações:
- De
, temos . - De
, substituindo , temos , então . - Já sabemos que
.
Passo 5
Agora que encontramos
,
e
, podemos reescrever a fração original:
Simplificando:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
As integrais são:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.