Resolver as integrais usando métodos adequados: integral tan ^3(x) sec ^4(x) d x

Passo 1

Então, a gente tem que resolver a integral de tan^3(x) sec^4(x) dx. Isso tá relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e o método de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que tan(x) = sin(x)cos(x) e sec(x) = 1cos(x). Então, podemos reescrever a integral em termos de seno e cosseno:
integral tan^3(x) sec^4(x) dx = integral (sin(x)cos(x))^3 (1cos(x))^4 dx = integral sin^3(x)cos^3(x) cdot 1cos^4(x) dx = integral sin^3(x)cos^7(x) dx

Passo 3

Agora, vamos separar um fator de sin(x) para facilitar a substituição:
integral sin^3(x)cos^7(x) dx = integral sin^2(x) cdot sin(x)cos^7(x) dx
Sabemos que sin^2(x) = 1 - cos^2(x), então substituímos:
integral (1 - cos^2(x)) cdot sin(x)cos^7(x) dx

Passo 4

Agora, vamos fazer uma substituição. Seja u = cos(x). Então, du = -sin(x) dx, ou seja, -,du = sin(x) dx.
Substituindo na integral:
integral (1 - u^2) cdot (-du)u^7 = -integral 1 - u^2u^7 du = -integral ( 1u^7 - u^2u^7 ) du = -integral ( u^-7 - u^-5 ) du

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
-integral u^-7 du + integral u^-5 du = -( u^-6-6 ) + ( u^-4-4 ) + C = u^-66 - u^-44 + C
Simplificando:
16u^6 - 14u^4 + C

Passo 6

Agora, substituímos de volta u = cos(x):
16cos^6(x) - 14cos^4(x) + C = sec^6(x)6 - sec^4(x)4 + C

Resposta

A integral de tan^3(x) sec^4(x) dx é igual a sec^6(x)6 - sec^4(x)4 + C, onde C é a constante de integração.
integral tan^3(x) sec^4(x) dx = sec^6(x)6 - sec^4(x)4 + C

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