Calcule as seguintes integrais: integral 1x(x^2+x+1) d x

Passo 1

Beleza, temos que calcular a integral . Vamos usar o conteúdo de frações parciais e integração de funções racionais para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração em frações parciais. Frações parciais são uma técnica que nos ajuda a dividir uma fração complexa em frações mais simples, facilitando a integração.

Passo 3

Assumimos que podemos escrever:
1x(x^2 + x + 1) = Ax + Bx + Cx^2 + x + 1
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por 1 = A(x^2 + x + 1) + (Bx + C)x para eliminar os denominadores:

Passo 5

Agora, expandimos e simplificamos a expressão:
1 = A x^2 + A x + A + B x^2 + C x
Reagrupando os termos semelhantes:
1 = (A + B)x^2 + (A + C)x + A

Passo 6

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo A + B = 0 A + C = 0 A = 1 , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, obtemos o seguinte sistema de equações:

Passo 7

Resolvendo o sistema:
  • Da terceira equação, já sabemos que .
  • Substituindo na primeira equação: .
  • Substituindo na segunda equação: .

Passo 8

Agora, substituímos os valores de 1x(x^2 + x + 1) = 1x + -x -1x^2 + x + 1 , 1x(x^2 + x + 1) = 1x - x + 1x^2 + x + 1 e na decomposição inicial:
Simplificando:

Passo 9

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1x dx - integral x + 1x^2 + x + 1 dx

Passo 10

A primeira integral é direta:
integral 1x dx = ln|x| + C1
Onde é a constante de integração.

Passo 11

Para a segunda integral x + 1x^2 + x + 1 = 2x + 12(x^2 + x + 1) + 12(x^2 + x + 1) , observamos que o numerador integral x + 1x^2 + x + 1 dx = 12 integral 2x + 1x^2 + x + 1 dx + 12 integral 1x^2 + x + 1 dx é similar à derivada do denominador . A derivada do denominador é .
Então, podemos ajustar a integral para facilitar:
Portanto,

Passo 12

Resolvendo cada uma das integrais:
  1. Primeira parte:
12 integral 2x + 1x^2 + x + 1 dx
Aqui, fazemos a substituição 12 ln|x^2 + x + 1| + C2 , então 12 integral 1x^2 + x + 1 dx . A integral fica:
x^2 + x + 1 = (x + 12)^2 + 34
  1. Segunda parte:
12 integral 1(x + 12)^2 + (raiz32)^2 dx = 12 cdot 2raiz3 arctan(2x + 1raiz3) + C3 = 1raiz3 arctan(2x + 1raiz3) + C3
Completamos o quadrado no denominador:
Então,

Passo 13

Juntando as partes resolvidas da segunda integral:
integral x + 1x^2 + x + 1 dx = 12 ln|x^2 + x + 1| - 1raiz3 arctan(2x + 1raiz3) + C
Onde é a constante geral de integração.

Passo 14

Voltando à nossa expressão inicial, temos:
integral 1x(x^2 + x + 1) dx = ln|x| - ( 12 ln|x^2 + x + 1| - 1raiz3 arctan(2x + 1raiz3) ) + C
Simplificando:
ln|x| - 12 ln|x^2 + x + 1| + 1raiz3 arctan(2x + 1raiz3) + C

Resposta

A integral é:
ln|x| - 12 ln|x^2 + x + 1| + 1raiz3 arctan( 2x + 1raiz3 ) + C
onde é a constante de integração.

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