Beleza, temos que calcular a integral . Vamos usar o conteúdo de frações parciais e integração de funções racionais para resolver essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração em frações parciais. Frações parciais são uma técnica que nos ajuda a dividir uma fração complexa em frações mais simples, facilitando a integração.
Passo 3
Assumimos que podemos escrever:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Passo 5
Agora, expandimos e simplificamos a expressão:
Reagrupando os termos semelhantes:
Passo 6
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, obtemos o seguinte sistema de equações:
Passo 7
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação, já sabemos que .
Substituindo na primeira equação: .
Substituindo na segunda equação: .
Passo 8
Agora, substituímos os valores de 1x(x^2 + x + 1) = 1x + -x -1x^2 + x + 1 , 1x(x^2 + x + 1) = 1x - x + 1x^2 + x + 1 e na decomposição inicial:
Simplificando:
Passo 9
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1x dx - integral x + 1x^2 + x + 1 dx
Passo 10
A primeira integral é direta:
integral 1x dx = ln|x| + C1
Onde é a constante de integração.
Passo 11
Para a segunda integral x + 1x^2 + x + 1 = 2x + 12(x^2 + x + 1) + 12(x^2 + x + 1) , observamos que o numerador integral x + 1x^2 + x + 1 dx = 12 integral 2x + 1x^2 + x + 1 dx + 12 integral 1x^2 + x + 1 dx é similar à derivada do denominador . A derivada do denominador é .
Então, podemos ajustar a integral para facilitar:
Portanto,
Passo 12
Resolvendo cada uma das integrais:
Primeira parte:
12 integral 2x + 1x^2 + x + 1 dx
Aqui, fazemos a substituição 12 ln|x^2 + x + 1| + C2 , então 12 integral 1x^2 + x + 1 dx . A integral fica: