Nos exercícios abaixo esboce o gráfico das funções.
f(x) = x^3 - 3 x^2 + 3

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A tarefa é esboçar o gráfico da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo e álgebra que nos ajudam a identificar pontos importantes do gráfico, como interceptações, pontos de máximo e mínimo, e a forma geral da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a interceptação com o eixo y. Isso acontece quando . Substituindo na função:
Então, o ponto de interceptação no eixo y é .

Passo 3

Agora, vamos procurar as interceptações com o eixo x, ou seja, os valores de para os quais . Precisamos resolver a equação:
Essa equação pode ser resolvida tentativamente tentando valores inteiros. Testando :
Testando :
Parece que não há interceptações inteiras fáceis. Podemos usar métodos numéricos ou gráficos para aproximar as raízes, mas, para simplificar, vamos focar nos outros aspectos do gráfico.

Passo 4

Vamos encontrar os pontos críticos, onde a derivada da função é zero. Primeiro, calculamos a derivada de :
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 5

Vamos determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos olhando a segunda derivada. Calculamos:
Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos:
  • Para :
ãéá
  • Para :
ãéí

Passo 6

Vamos encontrar os valores de nos pontos críticos:
  • Para :
  • Para :
Então, temos um ponto de máximo em e um ponto de mínimo em .

Passo 7

Vamos analisar o comportamento da função para valores grandes positivos e negativos de :
  • Quando vai para , domina, então tende a .
  • Quando vai para , domina novamente, mas como é ímpar, tende a .

Passo 8

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  1. Plotamos o ponto de interceptação .
  2. Marcamos o ponto de máximo e o ponto de mínimo .
  3. Desenhamos a curva que sobe até quando vai para e desce para quando vai para , passando pelos pontos identificados.

Resposta

O gráfico da função tem um ponto de máximo em , um ponto de mínimo em , e se estende ao infinito positivo e negativo conforme cresce. Com base nisso, o esboço apresenta uma curva em forma de “S” com as características mencionadas.

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