Nos exercícios abaixo esboce o gráfico das funções.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A tarefa é esboçar o gráfico da função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo e álgebra que nos ajudam a identificar pontos importantes do gráfico, como interceptações, pontos de máximo e mínimo, e a forma geral da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a interceptação com o eixo y. Isso acontece quando
. Substituindo na função:
Então, o ponto de interceptação no eixo y é
.
Passo 3
Agora, vamos procurar as interceptações com o eixo x, ou seja, os valores de
para os quais
. Precisamos resolver a equação:
Essa equação pode ser resolvida tentativamente tentando valores inteiros. Testando
:
Testando
:
Parece que não há interceptações inteiras fáceis. Podemos usar métodos numéricos ou gráficos para aproximar as raízes, mas, para simplificar, vamos focar nos outros aspectos do gráfico.
Passo 4
Vamos encontrar os pontos críticos, onde a derivada da função é zero. Primeiro, calculamos a derivada de
:
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 5
Vamos determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos olhando a segunda derivada. Calculamos:
Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Vamos encontrar os valores de
nos pontos críticos:
- Para
:
- Para
:
Então, temos um ponto de máximo em
e um ponto de mínimo em
.
Passo 7
Vamos analisar o comportamento da função para valores grandes positivos e negativos de
:
- Quando
vai para , domina, então tende a . - Quando
vai para , domina novamente, mas como é ímpar, tende a .
Passo 8
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Plotamos o ponto de interceptação
. - Marcamos o ponto de máximo
e o ponto de mínimo . - Desenhamos a curva que sobe até
quando vai para e desce para quando vai para , passando pelos pontos identificados.
Resposta
O gráfico da função
tem um ponto de máximo em
, um ponto de mínimo em
, e se estende ao infinito positivo e negativo conforme
cresce. Com base nisso, o esboço apresenta uma curva em forma de “S” com as características mencionadas.