Nos exercícios abaixo esboce o gráfico das funções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçarmos o gráfico da função
. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especialmente derivadas, para encontrar pontos importantes como máximos, mínimos e pontos de inflexão. Vamos precisar analisar a função, calcular suas derivadas e identificar seus principais comportamentos para desenhar o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto de interseção com o eixo y, que é quando
. Basta substituir na função:
Então, o gráfico passa pelo ponto
.
Passo 3
Agora, vamos buscar as raízes da função, ou seja, os valores de
onde
. Temos:
Resolver essa equação algébrica pode ser complicado, mas podemos tentar valores simples de
para encontrar raízes reais. Testando
:
Tentar
:
Vamos deixar as raízes específicas de lado por enquanto e focar nos comportamentos gerais da função.
Passo 4
Vamos analisar o comportamento da função para valores grandes de
. O termo de maior grau é
, que é positivo. Isso significa que:
- Quando
, - Quando
,
Então, nas extremidades, o gráfico sobe para cima em ambas as direções.
Passo 5
Vamos calcular a primeira derivada para encontrar os pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe), que podem indicar máximos ou mínimos locais:
Agora, igualamos a zero para encontrar os pontos críticos:
Isso nos dá:
-
-
→ → ou
Então, temos pontos críticos em
,
e
.
Passo 6
Vamos determinar se esses pontos críticos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão usando a segunda derivada:
Agora, avaliamos
nos pontos críticos:
-
Para
: Como, temos um mínimo local em . -
Para
: Como, temos um máximo local em . -
Para
: Como, temos um mínimo local em .
Passo 7
Vamos calcular os valores de
nos pontos críticos para achar as coordenadas completas:
-
Para
: Ponto: -
Para
: Ponto: -
Para
: Ponto:
Passo 8
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- O gráfico passa por
. - Tem um mínimo em
e outro em . - Tem um máximo em
. - Nas extremidades, o gráfico sobe para
. - Não há assimptotas, já que é um polinômio.
Resposta
O gráfico da função
apresenta um ponto de máximo em
, mínimos em
e
. O gráfico é simétrico em relação ao seu comportamento às extremidades, subindo para
quando
tende a
. Com esses pontos e comportamentos, é possível esboçar o gráfico da função de forma precisa.