Nos exercícios abaixo esboce o gráfico das funções.
f(x) = x^4/4 - x^3/3 - x^2 + 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçarmos o gráfico da função . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especialmente derivadas, para encontrar pontos importantes como máximos, mínimos e pontos de inflexão. Vamos precisar analisar a função, calcular suas derivadas e identificar seus principais comportamentos para desenhar o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto de interseção com o eixo y, que é quando . Basta substituir na função:
Então, o gráfico passa pelo ponto .

Passo 3

Agora, vamos buscar as raízes da função, ou seja, os valores de onde . Temos:
Resolver essa equação algébrica pode ser complicado, mas podemos tentar valores simples de para encontrar raízes reais. Testando :
Tentar :
Vamos deixar as raízes específicas de lado por enquanto e focar nos comportamentos gerais da função.

Passo 4

Vamos analisar o comportamento da função para valores grandes de . O termo de maior grau é , que é positivo. Isso significa que:
  • Quando ,
  • Quando ,
Então, nas extremidades, o gráfico sobe para cima em ambas as direções.

Passo 5

Vamos calcular a primeira derivada para encontrar os pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe), que podem indicar máximos ou mínimos locais:
Agora, igualamos a zero para encontrar os pontos críticos:
Isso nos dá:
  • ou
Então, temos pontos críticos em , e .

Passo 6

Vamos determinar se esses pontos críticos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão usando a segunda derivada:
Agora, avaliamos nos pontos críticos:
  • Para :
    Como , temos um mínimo local em .
  • Para :
    Como , temos um máximo local em .
  • Para :
    Como , temos um mínimo local em .

Passo 7

Vamos calcular os valores de nos pontos críticos para achar as coordenadas completas:
  • Para :
    Ponto:
  • Para :
    Ponto:
  • Para :
    Ponto:

Passo 8

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • O gráfico passa por .
  • Tem um mínimo em e outro em .
  • Tem um máximo em .
  • Nas extremidades, o gráfico sobe para .
  • Não há assimptotas, já que é um polinômio.

Resposta

O gráfico da função apresenta um ponto de máximo em , mínimos em e . O gráfico é simétrico em relação ao seu comportamento às extremidades, subindo para quando tende a . Com esses pontos e comportamentos, é possível esboçar o gráfico da função de forma precisa.

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