Nos exercícios abaixo esboce o gráfico das funções.
f(x) = x^2 / (x^2 - 4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa esboçar o gráfico da função . A matéria envolve funções racionais e para desenhar o gráfico, a gente vai precisar entender o domínio da função, os interceptos, as assíntotas e o comportamento da função em diferentes partes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os valores de onde a função está definida. Como temos uma fração, o denominador não pode ser zero.
Então, resolvemos:
Então, o domínio é todos os números reais exceto e .

Passo 3

Agora, vamos identificar as assíntotas verticais. As assíntotas verticais acontecem onde o denominador é zero, desde que o numerador não seja zero nesses pontos.
Já vimos que e fazem o denominador zero. Vamos verificar o numerador nesses pontos:
em e é , que não é zero.
Então, temos assíntotas verticais em:

Passo 4

Vamos encontrar a assíntota horizontal. Quando o grau do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes principais.
Na nossa função:
  • Grau do numerador: 2
  • Grau do denominador: 2
Então, a assíntota horizontal é:

Passo 5

Vamos determinar os interceptos com os eixos.
  • Intercepto com o eixo : É onde .
Então, o intercepto com o eixo é .
  • Interceptos com o eixo : São onde .
    A fração será zero quando o numerador for zero.
Então, o intercepto com o eixo também é .

Passo 6

Vamos analisar o comportamento da função nos intervalos determinados pelas assíntotas verticais.
  1. Para :
    • Escolha :
    Próximo da assíntota, a função tende a .
  2. Para :
    • Escolha :
    Entre as assíntotas, a função desce de para e volta a subir para .
  3. Para :
    • Escolha :
    Similar ao intervalo anterior, a função tende a .

Resposta

Resumindo, o gráfico da função possui:
  • Assíntotas verticais em e .
  • Assíntota horizontal em .
  • Um intercepto no ponto .
  • Nos intervalos definidos pelas assíntotas verticais, a função tende a .
Assim, o esboço do gráfico mostra duas “ramificações” separadas pelas assíntotas verticais, todas se aproximando da linha horizontal , com o ponto no meio.

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