Nos exercícios abaixo esboce o gráfico das funções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa esboçar o gráfico da função
. A matéria envolve funções racionais e para desenhar o gráfico, a gente vai precisar entender o domínio da função, os interceptos, as assíntotas e o comportamento da função em diferentes partes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
onde a função está definida. Como temos uma fração, o denominador não pode ser zero.
Então, resolvemos:
Então, o domínio é todos os números reais exceto
e
.
Passo 3
Agora, vamos identificar as assíntotas verticais. As assíntotas verticais acontecem onde o denominador é zero, desde que o numerador não seja zero nesses pontos.
Já vimos que
e
fazem o denominador zero. Vamos verificar o numerador nesses pontos:
Então, temos assíntotas verticais em:
Passo 4
Vamos encontrar a assíntota horizontal. Quando o grau do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes principais.
Na nossa função:
- Grau do numerador: 2
- Grau do denominador: 2
Então, a assíntota horizontal é:
Passo 5
Vamos determinar os interceptos com os eixos.
- Intercepto com o eixo
: É onde .
Então, o intercepto com o eixo
é
.
- Interceptos com o eixo
: São onde .
A fração será zero quando o numerador for zero.
Então, o intercepto com o eixo
também é
.
Passo 6
Vamos analisar o comportamento da função nos intervalos determinados pelas assíntotas verticais.
-
Para
: - Escolha
:
Próximo da assíntota, a função tende a. - Escolha
-
Para
: - Escolha
:
Entre as assíntotas, a função desce depara e volta a subir para . - Escolha
-
Para
: - Escolha
:
Similar ao intervalo anterior, a função tende a. - Escolha
Resposta
Resumindo, o gráfico da função
possui:
- Assíntotas verticais em
e . - Assíntota horizontal em
. - Um intercepto no ponto
. - Nos intervalos definidos pelas assíntotas verticais, a função tende a
.
Assim, o esboço do gráfico mostra duas “ramificações” separadas pelas assíntotas verticais, todas se aproximando da linha horizontal
, com o ponto
no meio.