Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente tem uma integral que envolve frações e potências de
. O assunto aqui é Cálculo Integral, mais especificamente a técnica de frações parciais. Vamos precisar decompor a fração complicada que estamos integrando em partes mais simples que a gente consegue integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão que estamos integrando:
A ideia aqui é quebrar essa fração em partes menores que somem para a original. Isso facilita a integração. Para isso, vamos usar a técnica de frações parciais.
Passo 3
Vamos supor que a fração pode ser escrita da seguinte forma:
Aqui,
são constantes que precisamos encontrar. Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores, temos:
Passo 4
Agora, vamos expandir e comparar os coeficientes dos termos semelhantes para encontrar os valores de
. Isso pode ser um pouco trabalhoso, mas é uma etapa importante para simplificar nossa integral.
Após expandir e simplificar, encontramos que:
Passo 5
Com esses valores, nossa decomposição fica:
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
Passo 6
Vamos integrar termo a termo:
Passo 7
Agora, juntando tudo:
Perceba que os termos
se cancelam:
Resposta
A integral de
é:
onde
é a constante de integração.