Calcule as seguintes integrais: integral 3 x^3+1x^2(x^2+1)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente tem uma integral que envolve frações e potências de . O assunto aqui é Cálculo Integral, mais especificamente a técnica de frações parciais. Vamos precisar decompor a fração complicada que estamos integrando em partes mais simples que a gente consegue integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão que estamos integrando:
integral 3x^3 + 1x^2(x^2 + 1)^2 , dx
A ideia aqui é quebrar essa fração em partes menores que somem para a original. Isso facilita a integração. Para isso, vamos usar a técnica de frações parciais.

Passo 3

Vamos supor que a fração pode ser escrita da seguinte forma:
3x^3 + 1x^2(x^2 + 1)^2 = Ax + Bx^2 + Cx + Dx^2 + 1 + Ex + F(x^2 + 1)^2
Aqui, 3x^3 + 1 = A x (x^2 + 1)^2 + B (x^2 + 1)^2 + (Cx + D) x^2 (x^2 + 1) + (Ex + F) x^2 são constantes que precisamos encontrar. Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, temos:

Passo 4

Agora, vamos expandir e comparar os coeficientes dos termos semelhantes para encontrar os valores de A = 0, B = 1, C = 0, D = -1, E = 0, F = 2 . Isso pode ser um pouco trabalhoso, mas é uma etapa importante para simplificar nossa integral.
Após expandir e simplificar, encontramos que:

Passo 5

Com esses valores, nossa decomposição fica:
3x^3 + 1x^2(x^2 + 1)^2 = 1x^2 + -1x^2 + 1 + 2(x^2 + 1)^2
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral ( 1x^2 - 1x^2 + 1 + 2(x^2 + 1)^2 ) , dx

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:

Passo 7

Agora, juntando tudo:
-1x - tan^-1(x) + xx^2 + 1 + tan^-1(x) + C
Perceba que os termos -1x + xx^2 + 1 + C se cancelam:

Resposta

A integral de -1x + xx^2 + 1 + C é:
onde é a constante de integração.

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