Q. 3(3,0). Calcule as seguintes integrais:
integral x^2(x^3+1) ln (x^3+1) d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x^2l(x^3+1r),lnl(x^3+1r),dx
O conteúdo principal aqui é integração por substituição, pois percebemos que a derivada de x^3+1 é proporcional a x^2.

Passo 2

Fazemos a primeira substituição
u = x^3+1
Logo
du = 3x^2,dx Longrightarrow x^2,dx = 13,du

Passo 3

Em função de u, a integral fica
integral x^2(x^3+1),ln(x^3+1),dx = 13integral 1u,ln u,du

Passo 4

Para lidar com integral 1u,ln u,du, fazemos
v = ln u Longrightarrow dv = 1u,du
e então
integral 1u,ln u,du = integral 1v,dv = lnl|vr| + C = lnl|ln ur| + C

Passo 5

Voltando às variáveis originais, u = x^3+1, obtemos
integral x^2(x^3+1),ln(x^3+1),dx = 13,lnl|ln(x^3+1)r| + C

Resposta

boxed13,lnl|ln(x^3+1)r| + C

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