Calcule as seguintes integrais: integral 6x(x^2+x+3) d x;

Passo 1

Vamos resolver a integral . Para isso, vamos utilizar o método de frações parciais, que nos ajuda a decompôr frações racionais em partes mais simples para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração 6x(x^2+x+3) = Ax + Bx + Cx^2+x+3 em frações parciais. Assumimos que ela pode ser escrita como:
Onde , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação por 6 = A(x^2+x+3) + (Bx + C)x para eliminar os denominadores:

Passo 4

Expandindo os termos:
6 = A x^2 + A x + 3A + B x^2 + C x
Agrupando os termos semelhantes:
6 = (A + B)x^2 + (A + C)x + 3A

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
A + B = 0 A + C = 0 3A = 6

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações:
Da terceira equação: .
Substituindo na primeira equação: .
Substituindo na segunda equa��ão: .

Passo 7

Substituindo os valores de 6x(x^2+x+3) = 2x + -2x - 2x^2+x+3 , 6x(x^2+x+3) = 2x - 2(x + 1)x^2+x+3 e na decomposição das frações parciais:
Podemos simplificar:

Passo 8

Agora, a integral fica:
integral 6x(x^2+x+3) , dx = integral 2x , dx - 2 integral x + 1x^2+x+3 , dx

Passo 9

Vamos integrar cada termo separadamente. A primeira integral é direta:
integral 2x , dx = 2 ln|x|

Passo 10

Para a segunda integral, observamos que o numerador integral x + 1x^2+x+3 , dx = 12 ln|x^2+x+3| é a derivada do denominador multiplicada por :

Passo 11

Juntando tudo, temos:
2 ln|x| - 2 cdot 12 ln|x^2+x+3| + C = 2 ln|x| - ln|x^2+x+3| + C

Resposta

integral 6x(x^2+x+3) , dx = 2 ln|x| - ln|x^2+x+3| + C

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