Vamos resolver a integral . Para isso, vamos utilizar o método de frações parciais, que nos ajuda a decompôr frações racionais em partes mais simples para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração em frações parciais. Assumimos que ela pode ser escrita como:
Onde , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Passo 4
Expandindo os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Passo 6
Resolvendo o sistema de equações:
Da terceira equação: .
Substituindo na primeira equação: .
Substituindo na segunda equa��ão: .
Passo 7
Substituindo os valores de 6x(x^2+x+3) = 2x + -2x - 2x^2+x+3 , 6x(x^2+x+3) = 2x - 2(x + 1)x^2+x+3 e na decomposição das frações parciais:
Podemos simplificar:
Passo 8
Agora, a integral fica:
integral 6x(x^2+x+3) , dx = integral 2x , dx - 2 integral x + 1x^2+x+3 , dx
Passo 9
Vamos integrar cada termo separadamente. A primeira integral é direta:
integral 2x , dx = 2 ln|x|
Passo 10
Para a segunda integral, observamos que o numerador integral x + 1x^2+x+3 , dx = 12 ln|x^2+x+3| é a derivada do denominador multiplicada por :
Passo 11
Juntando tudo, temos:
2 ln|x| - 2 cdot 12 ln|x^2+x+3| + C = 2 ln|x| - ln|x^2+x+3| + C
Resposta
integral 6x(x^2+x+3) , dx = 2 ln|x| - ln|x^2+x+3| + C