Calcule as seguintes integrais: integral d xraiz(x^2+1)^3;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse problema está ligado ao cálculo integral, mais especificamente à integração de funções que envolvem raízes e potências. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica que simplifique a expressão dentro da raiz.

Passo 2

Primeiro, precisamos simplificar a expressão dentro da integral. Observamos que temos integral dx(x^2+1)^3/2 , que pode ser reescrita como . Assim, a integral fica:

Passo 3

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição trigonométrica. Sabemos que x = tan(theta) simplifica expressões com , porque . Então, vamos definir:

Passo 4

Calculando dx = sec^2(theta) dtheta em termos de :

Passo 5

Substituindo integral sec^2(theta) dtheta(tan^2(theta)+1)^3/2 e integral sec^2(theta) dtheta(sec^2(theta))^3/2 = integral sec^2(theta) dthetasec^3(theta) = integral cos(theta) dtheta na integral:
Sabemos que , então:

Passo 6

A integral simplifica para:
integral cos(theta) dtheta = sin(theta) + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original sin(theta) = xraizx^2 + 1 . Lembrando que , temos um triângulo retângulo onde o cateto oposto a é e o cateto adjacente é 1. A hipotenusa, então, é .
A relação neste triângulo é:

Resposta

Portanto, a integral xraizx^2 + 1 + C é igual a:

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