Calcule as seguintes integrais:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse problema está ligado ao cálculo integral, mais especificamente à integração de funções que envolvem raízes e potências. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica que simplifique a expressão dentro da raiz.
Passo 2
Primeiro, precisamos simplificar a expressão dentro da integral. Observamos que temos
, que pode ser reescrita como
. Assim, a integral fica:
Passo 3
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição trigonométrica. Sabemos que
simplifica expressões com
, porque
. Então, vamos definir:
Passo 4
Calculando
em termos de
:
Passo 5
Substituindo
e
na integral:
Sabemos que
, então:
Passo 6
A integral simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que
, temos um triângulo retângulo onde o cateto oposto a
é
e o cateto adjacente é 1. A hipotenusa, então, é
.
A relação
neste triângulo é:
Resposta
Portanto, a integral
é igual a: