Calcule as seguintes integrais:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. A matéria que vamos usar aqui é de frações parciais, que ajuda a simplificar integrais racionais (onde temos polinômios no numerador e denominador). Para resolver, vamos decompor a fração em partes mais simples que conseguimos integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, precisamos decompor
em frações parciais. A ideia é escrever essa fração como soma de expressões mais simples com denominadores que são fatores de
.
Então, assumimos que:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de
,
e
. Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Expandindo os termos do lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
- Para
: - Para
: - Para o termo constante:
Passo 6
Resolvendo o sistema de equações:
- Da terceira equação:
- Da segunda equação:
- Da primeira equação:
Passo 7
Agora que encontramos
,
e
, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Passo 8
Vamos agora integrar cada termo separadamente:
Passo 9
Calculando cada integral:
Passo 10
Juntando tudo, a solução da integral é:
onde
é a constante de integração.