Calcule as seguintes integrais: integral x-2x^2(x+1) d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A matéria que vamos usar aqui é de frações parciais, que ajuda a simplificar integrais racionais (onde temos polinômios no numerador e denominador). Para resolver, vamos decompor a fração em partes mais simples que conseguimos integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, precisamos decompor x-2x^2(x+1) = Ax + Bx^2 + Cx+1 em frações parciais. A ideia é escrever essa fração como soma de expressões mais simples com denominadores que são fatores de .
Então, assumimos que:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de x - 2 = A cdot x(x+1) + B cdot (x+1) + C cdot x^2 , e . Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Expandindo os termos do lado direito:
x - 2 = A x^2 + A x + B x + B + C x^2
Agrupando os termos semelhantes:
x - 2 = (A + C) x^2 + (A + B) x + B

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para o termo constante:

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações:
  • Da terceira equação:
  • Da segunda equação:
  • Da primeira equação:

Passo 7

Agora que encontramos x-2x^2(x+1) = 3x - 2x^2 - 3x+1 , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:

Passo 8

Vamos agora integrar cada termo separadamente:
integral 3x , dx - integral 2x^2 , dx - integral 3x+1 , dx

Passo 9

Calculando cada integral:

Passo 10

Juntando tudo, a solução da integral é:
3 ln|x| - 2x - 3 ln|x+1| + C
onde é a constante de integração.

Resposta

integral x-2x^2(x+1) , dx = 3 ln|x| - 2x - 3 ln|x+1| + C

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