Considere a região R do primeiro quadrante delimitada pelas curvas y = x^3 e y = 2*x - x^2. Calcule as seguintes quantidades: A área de R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está no primeiro quadrante e é delimitada pelas curvas e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração para calcular a área entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os pontos onde as duas curvas se cruzam. Isso vai nos dar os limites de integração. Igualamos as duas funções:
Reorganizando:
Fatorando:
Resolvendo a equação quadrática :
Então, temos e . Como estamos no primeiro quadrante, consideramos e .

Passo 3

Agora, vamos identificar qual das duas curvas está acima da outra no intervalo de a . Vamos testar um valor dentro desse intervalo, por exemplo, :
Como , a curva está acima da nesse intervalo.

Passo 4

Com essa informação, a área da região pode ser calculada pela integral da diferença das duas funções de a :
Á

Passo 5

Vamos calcular essa integral passo a passo:
Calculando cada uma:
Somando tudo:

Resposta

A área da região é .

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