Considere a região do primeiro quadrante delimitada pelas curvas . Calcule as seguintes quantidades: A área de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está no primeiro quadrante e é delimitada pelas curvas e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração para calcular a área entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os pontos onde as duas curvas se cruzam. Isso vai nos dar os limites de integração. Igualamos as duas funções:
Reorganizando:
Fatorando:
Resolvendo a equação quadrática :
Então, temos e . Como estamos no primeiro quadrante, consideramos e .
Passo 3
Agora, vamos identificar qual das duas curvas está acima da outra no intervalo de a . Vamos testar um valor dentro desse intervalo, por exemplo, :
Como , a curva está acima da nesse intervalo.
Passo 4
Com essa informação, a área da região pode ser calculada pela integral da diferença das duas funções de a :