Calcule as seguintes integrais:
  1. integral cos (ln (x)) d x

Passo 1

A questão pede para calcular integral cos(ln(x)),dx. O conteúdo principal aqui é integração de funções compostas, onde vamos usar uma substituição que simplifica o logaritmo e depois uma integração por partes.

Passo 2

Vamos começar fazendo a substituição u=ln(x). Assim, temos du=tfracdxx, ou seja dx=x,du. Mas como x=e^u, então dx=e^u,du. Substituindo na integral:
A integral original fica
integral cos(ln(x)),dx = integral cos(u),e^u,du

Passo 3

Agora precisamos calcular I=integral e^ucos(u),du. Para isso, vamos usar integração por partes duas vezes. Primeiro, escolhemos
a=e^u, dv=cos(u),du,
logo
da=e^u,du, v=sin(u)
Aplicando a fórmula integral a,dv = a,v - integral v,da, obtemos
I = e^usin(u) - integral e^usin(u),du

Passo 4

Chamando J=integral e^usin(u),du, temos
I = e^usin(u) - J

Passo 5

Agora calculamos J por partes novamente. Seja
a=e^u, dv=sin(u),du,
então
da=e^u,du, v=-cos(u)
Assim
J = -e^ucos(u) - integral (-cos(u)),e^u,du = -e^ucos(u) + I

Passo 6

Voltando a I = e^usin(u) - J e substituindo J:
I = e^usin(u) - l(-e^ucos(u) + Ir) = e^usin(u) + e^ucos(u) - I

Passo 7

Reorganizando para isolar I:
2I = e^ul(sin(u) + cos(u)r)Rightarrow I = e^u2l(sin(u) + cos(u)r)

Passo 8

Finalmente, voltamos à variável x, lembrando que u=ln(x) e e^u=x. Logo,
integral cos(ln(x)),dx = x2l(sin(ln(x)) + cos(ln(x))r) + C

Resposta

x2l(sin(ln(x)) + cos(ln(x))r) + C

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