Calcule as seguintes integrais:
-
Passo 1
A questão pede para calcular
. O conteúdo principal aqui é integração de funções compostas, onde vamos usar uma substituição que simplifica o logaritmo e depois uma integração por partes.
Passo 2
Vamos começar fazendo a substituição
. Assim, temos
, ou seja
. Mas como
, então
. Substituindo na integral:
A integral original fica
A integral original fica
Passo 3
Agora precisamos calcular
. Para isso, vamos usar integração por partes duas vezes. Primeiro, escolhemos
logo
Aplicando a fórmula
, obtemos
Passo 4
Chamando
, temos
Passo 5
Agora calculamos
por partes novamente. Seja
então
Assim
Passo 6
Voltando a
e substituindo
:
Passo 7
Reorganizando para isolar
:
Passo 8
Finalmente, voltamos à variável
, lembrando que
e
. Logo,