Let an be the sequence 18, 115, 124, 135, ldots
Does sumn=1^infty an converge? If so, to what value?

Passo 1

O enunciado pede pra saber se a série infinita cujos termos são 1/8, 1/15, 1/24, 1/35, … converge e, em caso afirmativo, calcular seu valor. O conteúdo principal é séries telescópicas e vamos precisar identificar a fórmula geral de aₙ e usar frações parciais.

Passo 2

Observando os denominadores 8, 15, 24, 35, notamos que 8=2·4, 15=3·5, 24=4·6, 35=5·7 etc. Logo podemos escrever o termo geral como
an = 1(n+1)(n+3)

Passo 3

Para telescopar, fazemos a decomposição em frações parciais:
1(n+1)(n+3) = An+1 + Bn+3
Multiplicando em comum denominador: 1 = A(n+3) + B(n+1). Escolhendo n=−1 dá A=1/2 e n=−3 dá B=−1/2. Assim,
an = 12l(1n+1 - 1n+3r)

Passo 4

O somatório parcial até N fica:
SN = sumn=1^N an = 12sumn=1^Nl(1n+1-1n+3r)
Ao expandir vemos cancelamentos em cascata (telescópio): os termos intermediários se anulam, sobrando
SN = 12l(12 + 13 - 1N+2 - 1N+3r)

Passo 5

Para concluir, fazemos o limite quando N→∞. Os termos 1/(N+2) e 1/(N+3) vão a zero, então a soma infinita converge e vale:
S = limNtoinfty SN = 12l(12 + 13r) = 12cdot56 = 512

Resposta

A série converge e seu valor é 5/12.

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