Let
be the sequence
Does
converge? If so, to what value?
Does
Passo 1
O enunciado pede pra saber se a série infinita cujos termos são 1/8, 1/15, 1/24, 1/35, … converge e, em caso afirmativo, calcular seu valor. O conteúdo principal é séries telescópicas e vamos precisar identificar a fórmula geral de aₙ e usar frações parciais.
Passo 2
Observando os denominadores 8, 15, 24, 35, notamos que 8=2·4, 15=3·5, 24=4·6, 35=5·7 etc. Logo podemos escrever o termo geral como
Passo 3
Para telescopar, fazemos a decomposição em frações parciais:
Multiplicando em comum denominador: 1 = A(n+3) + B(n+1). Escolhendo n=−1 dá A=1/2 e n=−3 dá B=−1/2. Assim,
Passo 4
O somatório parcial até N fica:
Ao expandir vemos cancelamentos em cascata (telescópio): os termos intermediários se anulam, sobrando
Passo 5
Para concluir, fazemos o limite quando N→∞. Os termos 1/(N+2) e 1/(N+3) vão a zero, então a soma infinita converge e vale:
Resposta
A série converge e seu valor é
.