Representar cada um dos valores abaixo, de forma exata, nos sistemas de ponto flutuante F(10,4,-5,5) e F(2,7,-3,3). Caso não seja possível representar o número, justifique.
(1111,011)2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente representar o número binário (1111,011)2 exatamente em dois sistemas de ponto flutuante diferentes: F(10,4,-5,5) e F(2,7,-3,3). Para resolver isso, a gente precisa entender como funcionam esses sistemas de ponto flutuante, o que cada parâmetro significa e como converter números binários para esses formatos. Então, vamos precisar saber sobre:
  • Representação de números binários
  • Conceitos de ponto flutuante (sinal, mantissa e expoente)
  • Como ajustar esses componentes dentro das restrições dos sistemas dados

Passo 2

Primeiro, vamos transformar o número binário (1111,011)2 em decimal para facilitar a compreensão.
Cada dígito à esquerda da vírgula representa potências de 2 positivas, e cada dígito à direita representa potências de 2 negativas.
Então:
1111,0112 = 1 times 2^3 + 1 times 2^2 + 1 times 2^1 + 1 times 2^0 + 0 times 2^-1 + 1 times 2^-2 + 1 times 2^-3
Calculando cada termo:
= 8 + 4 + 2 + 1 + 0 + 0.25 + 0.125 = 15.37510
Então, (1111,011)2 = 15.37510.

Passo 3

Agora, vamos tentar representar 15.375 no sistema de ponto flutuante F(10,4,-5,5).
Vamos entender o que significa F(10,4,-5,5):
  • Total de bits: 10
  • Bits para a mantissa: 4
  • Expoente mínimo: -5
  • Expoente máximo: 5
No ponto flutuante, um número é representado como:
(-1)^s times 1m times 2^E
Onde:
  • s é o sinal (0 para positivo, 1 para negativo)
  • m é a mantissa
  • E é o expoente
Vamos decompor 15.375:
bul<=t Sinal: como é positivo, s = 0.
bul<=t Converter 15.375 para binário normalizado:
15.37510 = 1111.0112 = 1.111011 times 2^3
Aqui, a mantissa normalizada é 1.111011 e o expoente é 3.
Agora, precisamos ajustar a mantissa para 4 bits. Isso significa que vamos arredondar a mantissa:
1.111011 approx 1.1110
Então, a mantissa é 1110.
Verificamos se o expoente 3 está dentro do intervalo permitido de -5 a 5. Como 3 está dentro, está tudo certo.
Então, a representação no sistema F(10,4,-5,5) é:
  • Sinal: 0
  • Mantissa: 1110
  • Expoente: 3

Passo 4

Agora, vamos representar 15.375 no sistema F(2,7,-3,3).
Analisando F(2,7,-3,3):
  • Total de bits: 2 (o que parece pequeno demais, mas vamos seguir)
  • Bits para a mantissa: 7
  • Expoente mínimo: -3
  • Expoente máximo: 3
No entanto, com apenas 2 bits no total e 7 bits para a mantissa, isso não faz sentido, já que o total de bits deve ser a soma dos bits de mantissa e do expoente, além do sinal. Parece que há um erro na definição do sistema.
Assumindo que houve um engano e que os parâmetros deveriam ser diferentes, vamos considerar que seja F(7,2,-3,3) ou algo similar. Mas, mesmo assim, vamos tentar:
Se considerarmos 2 bits para mantissa e 7 para expoente, temos:
(-1)^s times 1m times 2^E
Mantissa com 2 bits: por exemplo, 11.
Expoente precisa ser ajustado: E = 3 está dentro do intervalo.
No entanto, com apenas 2 bits para a mantissa, a precisão é muito baixa e não conseguimos representar 1.1110 exatamente. Portanto, não é possível representar 15.375 exatamente neste sistema devido à limitação da mantissa.

Resposta

No sistema F(10,4,-5,5), o número (1111,011)2 pode ser representado exatamente como 0 1110 3. Já no sistema F(2,7,-3,3), não é possível representar o número exatamente devido à limitação na precisão da mantissa.

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