Representar cada um dos valores abaixo, de forma exata, nos sistemas de ponto flutuante
e
. Caso não seja possível representar o número, justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente representar o número binário
exatamente em dois sistemas de ponto flutuante diferentes:
e
. Para resolver isso, a gente precisa entender como funcionam esses sistemas de ponto flutuante, o que cada parâmetro significa e como converter números binários para esses formatos. Então, vamos precisar saber sobre:
- Representação de números binários
- Conceitos de ponto flutuante (sinal, mantissa e expoente)
- Como ajustar esses componentes dentro das restrições dos sistemas dados
Passo 2
Primeiro, vamos transformar o número binário
em decimal para facilitar a compreensão.
Cada dígito à esquerda da vírgula representa potências de 2 positivas, e cada dígito à direita representa potências de 2 negativas.
Então:
Calculando cada termo:
Então,
.
Passo 3
Agora, vamos tentar representar
no sistema de ponto flutuante
.
Vamos entender o que significa
:
- Total de bits: 10
- Bits para a mantissa: 4
- Expoente mínimo: -5
- Expoente máximo: 5
No ponto flutuante, um número é representado como:
Onde:
-
é o sinal (0 para positivo, 1 para negativo) -
é a mantissa -
é o expoente
Vamos decompor
:
Aqui, a mantissa normalizada é
e o expoente é
.
Agora, precisamos ajustar a mantissa para 4 bits. Isso significa que vamos arredondar a mantissa:
Então, a mantissa é
.
Verificamos se o expoente
está dentro do intervalo permitido de
a
. Como
está dentro, está tudo certo.
Então, a representação no sistema
é:
- Sinal:
- Mantissa:
- Expoente:
Passo 4
Agora, vamos representar
no sistema
.
Analisando
:
- Total de bits: 2 (o que parece pequeno demais, mas vamos seguir)
- Bits para a mantissa: 7
- Expoente mínimo: -3
- Expoente máximo: 3
No entanto, com apenas 2 bits no total e 7 bits para a mantissa, isso não faz sentido, já que o total de bits deve ser a soma dos bits de mantissa e do expoente, além do sinal. Parece que há um erro na definição do sistema.
Assumindo que houve um engano e que os parâmetros deveriam ser diferentes, vamos considerar que seja
ou algo similar. Mas, mesmo assim, vamos tentar:
Se considerarmos 2 bits para mantissa e 7 para expoente, temos:
Mantissa com 2 bits: por exemplo,
.
Expoente precisa ser ajustado:
está dentro do intervalo.
No entanto, com apenas 2 bits para a mantissa, a precisão é muito baixa e não conseguimos representar
exatamente. Portanto, não é possível representar
exatamente neste sistema devido à limitação da mantissa.
Resposta
No sistema
, o número
pode ser representado exatamente como
. Já no sistema
, não é possível representar o número exatamente devido à limitação na precisão da mantissa.