(1,5) Calcule as seguintes integrais
integral cos x tg(sen x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral cos x , tan(sin x) , dx. Esse exercício envolve cálculo de integrais e trigonometria, especificamente funções trigonométricas como seno, cosseno e tangente. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição e lembrar algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar a expressão. Observamos que temos cos x multiplicando tan(sin x). Uma boa jogada aqui é considerar sin x como uma nova variável.

Passo 3

Vamos definir u = sin x. Então, precisamos calcular a derivada de u em relação a x para substituir dx. A derivada de sin x é cos x, ou seja, du = cos x , dx. Perceba que cos x , dx aparece exatamente na nossa integral, o que facilita a substituição.

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integral cos x , tan(sin x) , dx = integral tan u , du
Agora, precisamos resolver integral tan u , du. Sabemos que a integral da tangente é o logaritmo do cosseno:
integral tan u , du = -ln|cos u| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Agora, voltamos à variável original substituindo u = sin x de volta:
-ln|cos u| + C = -ln|cos(sin x)| + C

Passo 6

Prontinho! Resolvímos a integral passo a passo usando substituição e conhecendo a integral da tangente.

Resposta

A integral é igual a -ln|cos(sin x)| + C, onde C é a constante de integração.

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