Calcule as seguintes integrais
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício envolve cálculo de integrais e trigonometria, especificamente funções trigonométricas como seno, cosseno e tangente. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição e lembrar algumas identidades trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar a expressão. Observamos que temos
multiplicando
. Uma boa jogada aqui é considerar
como uma nova variável.
Passo 3
Vamos definir
. Então, precisamos calcular a derivada de
em relação a
para substituir
. A derivada de
é
, ou seja,
. Perceba que
aparece exatamente na nossa integral, o que facilita a substituição.
Passo 4
Substituindo na integral, temos:
Agora, precisamos resolver
. Sabemos que a integral da tangente é o logaritmo do cosseno:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, voltamos à variável original substituindo
de volta:
Passo 6
Prontinho! Resolvímos a integral passo a passo usando substituição e conhecendo a integral da tangente.
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.