Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície ; ou seja, calcule o fluxo de através de .
10. é a superfície do tetraedro limitado pelos planos e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície do campo vetorial através da superfície que forma um tetraedro limitado pelos planos , , e . Para isso, vamos usar o Teorema da Divergente, que é uma ferramenta poderosa no cálculo vetorial para converter integrais de superfície em integrais de volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teorema da Divergente. Ele nos diz que a integral de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada é igual à integral tripla da divergência desse campo dentro do volume limitado por . Em fórmula:
Então, para usar esse teorema, precisamos calcular a divergência de .
Passo 3
Vamos calcular a divergência de , que é a soma das derivadas parciais das componentes do campo em relação a suas respectivas variáveis:
Calculando cada termo:
Então:
Passo 4
Agora, precisamos configurar a integral tripla sobre o volume do tetraedro. Primeiro, vamos descrever o tetraedro:
Os limites são dados por:
Para facilitar a integração, vamos resolver para :
Então, os limites de integração são:
varia de 0 a 2
Para cada , varia de 0 a
Para cada e , varia de 0 a
Passo 5
Vamos montar a integral tripla com os limites encontrados e a divergência calculada:
Vamos integrar passo a passo:
Integração em relação a :
Integração em relação a 6x y (2 - x - 2y) = 12x y - 6x^2 y - 12x y^2 :