Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot d S; ou seja, calcule o fluxo de F através de S.
10. F(x, y, z)=x^2 y i+x y^2 j+2 x y z k, S é a superfície do tetraedro limitado pelos planos x=0, y=0, z=0 e x+2 y+z=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície do campo vetorial através da superfície que forma um tetraedro limitado pelos planos , , e . Para isso, vamos usar o Teorema da Divergente, que é uma ferramenta poderosa no cálculo vetorial para converter integrais de superfície em integrais de volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teorema da Divergente. Ele nos diz que a integral de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada integral duplaS F cdot dS = integral triplaV nabla cdot F , dV é igual à integral tripla da divergência desse campo dentro do volume limitado por . Em fórmula:
Então, para usar esse teorema, precisamos calcular a divergência de .

Passo 3

Vamos calcular a divergência de nabla cdot F = partialpartial x(x^2 y) + partialpartial y(x y^2) + partialpartial z(2 x y z) , que é a soma das derivadas parciais das componentes do campo em relação a suas respectivas variáveis:
partialpartial x(x^2 y) = 2x y
Calculando cada termo:
partialpartial y(x y^2) = 2x y
partialpartial z(2 x y z) = 2x y
nabla cdot F = 2x y + 2x y + 2x y = 6x y
Então:

Passo 4

Agora, precisamos configurar a integral tripla sobre o volume z <= 2 - x - 2y do tetraedro. Primeiro, vamos descrever o tetraedro:
Os limites são dados por:
Para facilitar a integração, vamos resolver para :
Então, os limites de integração são:
  • varia de 0 a 2
  • Para cada , varia de 0 a
  • Para cada e , varia de 0 a

Passo 5

Vamos montar a integral tripla com os limites encontrados e a divergência calculada:
integral triplaV 6x y , dV = integralx=0^2 integraly=0^2 - x2 integralz=0^2 - x - 2y 6x y , dz , dy , dx
Vamos integrar passo a passo:
  1. Integração em relação a integral0^2 - x - 2y 6x y , dz = 6x y cdot z gr|0^2 - x - 2y = 6x y (2 - x - 2y) :
integral0^2 - x2 6x y (2 - x - 2y) , dy
  1. Integração em relação a 6x y (2 - x - 2y) = 12x y - 6x^2 y - 12x y^2 :
integral 12x y , dy = 6x y^2
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
integral -6x^2 y , dy = -3x^2 y^2
Agora, integrar termo a termo:
integral -12x y^2 , dy = -4x y^3
6x (2 - x2)^2 - 3x^2 (2 - x2)^2 - 4x (2 - x2)^3
6x cdot (2 - x)^24 = 6x (2 - x)^24 = 3x (2 - x)^22
Aplicando os limites de 0 a -3x^2 cdot (2 - x)^24 = -3x^2 (2 - x)^24 :
-4x cdot (2 - x)^38 = -4x (2 - x)^38 = -x (2 - x)^32
Simplificando cada termo:
3x (2 - x)^22 - 3x^2 (2 - x)^24 - x (2 - x)^32
x (2 - x)^24 (6 - 3x - 2(2 - x)) = x (2 - x)^24 (6 - 3x - 4 + 2x) = x (2 - x)^24 (2 - x)
x (2 - x)^34
Juntando tudo:
integral0^2 x (2 - x)^34 , dx = 14 integral0^2 x (2 - x)^3 , dx
Podemos fatorar u = 2 - x implies du = -dx implies dx = -du :
14 integral2^0 (2 - u) u^3 (-du) = 14 integral0^2 (2 - u) u^3 , du
Então:
14 integral0^2 2u^3 - u^4 , du = 14 [ 2u^44 - u^55 ]0^2 = 14 [ 2 cdot 164 - 325 ] = 14 [ 8 - 325 ]
  1. Integração em relação a 8 - 325 = 405 - 325 = 85 :
14 cdot 85 = 25
Vamos fazer uma substituição:
Quando , ; quando , .
Substituindo:
Expandindo:
Calculando:
Então:

Resposta

O fluxo de através de é .

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