Use o Teorema de Stokes para calcular integralC F cdot d r. Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
10. F(x, y, z)=x y i+2 z j+3 y k, C é a curva de intersecção do plano x+z=5 e do cilindro x^2+y^2=9

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha integralC F cdot d r usando o Teorema de Stokes. A função vetorial dada é F(x, y, z) = x y i + 2 z j + 3 y k. A curva C é a interseção entre o plano x + z = 5 e o cilindro x^2 + y^2 = 9, orientada anti-horário visto de cima. Para resolver, vamos precisar entender o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de F e parametrizar a superfície limitada por C.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Stokes. Ele diz que a integral de linha de um campo vetorial F ao longo de uma curva C é igual à integral de superfície do rotacional de F sobre uma superfície S cuja borda é C. Matematicamente:
integralC F cdot d r = integralS (nabla times F) cdot n , dS
Onde n é o vetor normal à superfície S.

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional de F, que é nabla times F. A fórmula para o rotacional em coordenadas cartesianas é:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k
Vamos calcular cada componente:
  • partial Fzpartial y = partial (3y)partial y = 3
  • partial Fypartial z = partial (2z)partial z = 2
  • partial Fxpartial z = partial (x y)partial z = 0
  • partial Fzpartial x = partial (3y)partial x = 0
  • partial Fypartial x = partial (2z)partial x = 0
  • partial Fxpartial y = partial (x y)partial y = x
Então, o rotacional fica:
nabla times F = (3 - 2)i + (0 - 0)j + (0 - x)k = i - x k

Passo 4

Agora precisamos escolher uma superfície S cuja borda é a curva C. Como C é a interseção entre o plano x + z = 5 e o cilindro x^2 + y^2 = 9, podemos escolher como superfície o disco do cilindro no plano x + z = 5. Vamos parametrizar esse plano para facilitar a integração.
No plano x + z = 5, podemos resolver para z: z = 5 - x. Assim, a superfície pode ser parametrizada em termos de x e y dentro do cilindro x^2 + y^2 <= 9.

Passo 5

Precisamos encontrar o vetor normal n à superfície S. A superfície está no plano x + z = 5, e o vetor normal a esse plano é dado pelos coeficientes de x, y e z na equação do plano, ou seja, n = (1, 0, 1). Como a curva C é orientada anti-horário visto de cima, o vetor normal aponta para cima, então mantemos n como (1, 0, 1).
Vamos normalizar n:
n = (1, 0, 1)raiz1^2 + 0^2 + 1^2 = (1, 0, 1)raiz2 = (1raiz2, 0, 1raiz2)

Passo 6

Agora, aplicamos o Teorema de Stokes:
integralC F cdot d r = integralS (nabla times F) cdot n , dS
Substituindo o rotacional e o vetor normal:
(nabla times F) cdot n = (i - x k) cdot (1raiz2 i + 0 j + 1raiz2 k) = 1raiz2 - x cdot 1raiz2 = 1 - xraiz2
A ��rea dS no plano pode ser expressa em coordenadas polares, já que a projeção é um círculo de raio 3 no eixo x e y. Porém, como estamos no plano x + z = 5, precisamos ajustar.
Mas para simplificar, podemos considerar que a projeção no plano xy tem área pi r^2 = pi cdot 3^2 = 9pi.
Então, a integral fica:
integralS 1 - xraiz2 , dS = 1raiz2 integralS (1 - x) , dS
Podemos separar a integral:
1raiz2 ( integralS 1 , dS - integralS x , dS )
A primeira integral é simplesmente a área de S, que é 9pi / raiz2. A segunda integral, integralS x , dS, é zero devido à simetria do cilindro em torno do eixo y (a média de x sobre o círculo é zero).

Resposta

Portanto, a integral vale:
integralC F cdot d r = 9piraiz2

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