Use o Teorema de Stokes para calcular
. Em cada caso,
é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
10.
é a curva de intersecção do plano
e do cilindro
10.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
usando o Teorema de Stokes. A função vetorial dada é
. A curva
é a interseção entre o plano
e o cilindro
, orientada anti-horário visto de cima. Para resolver, vamos precisar entender o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de
e parametrizar a superfície limitada por
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Stokes. Ele diz que a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva
é igual à integral de superfície do rotacional de
sobre uma superfície
cuja borda é
. Matematicamente:
Onde
é o vetor normal à superfície
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o rotacional de
, que é
. A fórmula para o rotacional em coordenadas cartesianas é:
Vamos calcular cada componente:
Então, o rotacional fica:
Passo 4
Agora precisamos escolher uma superfície
cuja borda é a curva
. Como
é a interseção entre o plano
e o cilindro
, podemos escolher como superfície o disco do cilindro no plano
. Vamos parametrizar esse plano para facilitar a integração.
No plano
, podemos resolver para
:
. Assim, a superfície pode ser parametrizada em termos de
e
dentro do cilindro
.
Passo 5
Precisamos encontrar o vetor normal
à superfície
. A superfície está no plano
, e o vetor normal a esse plano é dado pelos coeficientes de
,
e
na equação do plano, ou seja,
. Como a curva
é orientada anti-horário visto de cima, o vetor normal aponta para cima, então mantemos
como
.
Vamos normalizar
:
Passo 6
Agora, aplicamos o Teorema de Stokes:
Substituindo o rotacional e o vetor normal:
A ��rea
no plano pode ser expressa em coordenadas polares, já que a projeção é um círculo de raio 3 no eixo
e
. Porém, como estamos no plano
, precisamos ajustar.
Mas para simplificar, podemos considerar que a projeção no plano
tem área
.
Então, a integral fica:
Podemos separar a integral:
A primeira integral é simplesmente a área de
, que é
. A segunda integral,
, é zero devido à simetria do cilindro em torno do eixo
(a média de
sobre o círculo é zero).
Resposta
Portanto, a integral vale: